Таблица изображений некоторых элементарных оригиналов.
Приведем примеры использования определения и результатов утверждений для нахождения изображений.
Найти изображение функции , используя преобразование Лапласа.
Подчеркнем, что является оригиналом. Так как для всех , то изображение этой функции будет определено и аналитично в полуплоскости . Далее находим:
.
Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа найти изображения оригинала:
По таблице изображений найдем: .
.
Найти изображение функции , воспользовавшись свойством дифференцирования изображений.
Воспользовавшись таблицей изображений, запишем:
.
Тогда по теореме о дифференцировании получим:
.
Последовательно вычисляя производные, находим:
и далее .
Окончательно запишем: .
Найти изображение функции .
Можно, вычислив интеграл, найти изображение по таблице изображений. Однако в данном случае проще воспользоваться теоремой об интегрировании оригинала. Действительно, имеем: . Тогда по теореме об интегрировании оригинала имеем право, записать:
.
Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению.
Сверткой функций будем называть функцию .
Отметим, что операция свертывания обладает свойством коммутативности: , то есть .
Утверждение 10 (об умножении изображений, или теорема о свертке). Пусть ; . Тогда .
Таким образом, изображением свертки двух оригиналов является произведение их изображений.
Найти свертку функций и :
Приведем два способа решения этой задачи.
Первый способ. Воспользуемся таблицей изображений: и .
Воспользовавшись теоремой о свертке, запишем: .
Итак, изображение свертки найдено. Найдем саму свертку. Для этого, как и в предыдущей задаче, с помощью метода неопределенных коэффициентов представим дробь в виде суммы простейших дробей: . Тогда по таблице изображений запишем: .
Второй способ. Вычислим свертку функций, воспользовавшись определением: .
Интегрируем по частям: . Следовательно, .
Теперь по таблице изображений находим изображение свертки: .
Итак, нами получен тот же результат.
Пользуясь теоремой о свертке, найти оригинал изображения: .
Представим изображение в виде произведения . По теореме о свертке имеем: . Найдем теперь свертку функций и :
.
Таким образом, .
Заметим, что в данном случае оригинал можно было найти и по таблице изображений.
При нахождении оригиналов по заданным изображениям можно использовать несколько приемов.
Первый состоит в том, что изображение представляется в виде суммы элементарных дробей, каждая из которых является изображением простых оригиналов. Далее, используя таблицу оригиналов и свойство линейности преобразования Лапласа, находят оригинал, соответствующий исходной дроби.
Второй способ состоит в том, чтобы представить дробь в виде произведения дробей, каждая из которых является изображением некоторой функции, и применить теорему о свертке.
Третий способ основан на следующем утверждении:
Утверждение 11 (о разложении). Пусть функция представляет собой правильную рациональную дробь, имеющую полюсы в точках , где . Тогда оригиналом для неё служит функция , где сумма берется по всем полюсам.
Отметим, что данное утверждение допускает некоторое упрощение в случае, когда
а) все корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения имеют кратность единица: ,
б) корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения кратные:
, .
Приведем примеры использования вышеперечисленных идей при решении задач.
Найти оригинал изображения: .
При работе с первым слагаемым по таблице изображений находим: . Поэтому, по свойству линейности преобразования Лапласа, находим соответствующий оригинал: .
Аналогично преобразуем второе слагаемое в выражении: .
Для нахождения оригинала, соответствующего третьему слагаемому выделим полный квадрат в знаменателе: . С учетом этого запишем: . Окончательно для этого слагаемого получим: .
Для нахождения оригинала, соответствующего последнему слагаемому , воспользуемся утверждением запаздывания оригинала. Так как оригинал для функции : , то, применив теперь теорему запаздывания оригинала, имеем
Итак, оригинал, соответствующий нашему изображению имеет вид:
.
Найти оригинал изображения: .
Представим дробь в виде суммы простейших дробей .
Воспользуемся стандартной техникой нахождения неопределенных коэффициентов . Приведем правую часть равенства к общему знаменателю. Тогда дроби равны, знаменатели равны, а значит, и числители равны: .
Слева и справа у нас многочлены. По теореме о равенстве двух многочленов два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Тогда запишем соответствующую систему и вычислим коэффициенты разложения:
.
Таким образом, исходную дробь представим в виде .
Следовательно, .
Проиллюстрируем теперь использование теоремы о разложении для нахождения оригиналов, соответствующих изображениям.
Пользуясь теоремой о разложении, найти оригинал изображения: .
Функция имеет полюсы второго порядка: , и полюс первого порядка . Тогда по тереме о разложении оригиналом для служит функция . Вычислим соответствующие вычеты .
,
,
.
Следовательно, имеем право, записать
.
Найти оригинал изображения: .
Заметим, что все корни знаменателя действительные и простые.
При этом , а и .
Итак, корни многочлена знаменателя: .
Найдем соответствующие коэффициенты: , , , .
Следовательно, .
Приведем также пример ситуации с кратными корнями.
Найти оригинал изображения: .
Разложение изображения на простые дроби имеет вид: .
Найдем коэффициенты этого разложения
;
;
;
;
??????????
Методы операционного исчисления удобно использовать при решении некоторых дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также систем таких уравнений. При этом предполагают, что в правой части такого уравнения стоит оригинал некоторой функции. Приведем примеры использования утверждений, касающихся свойств оригиналов и изображений.
Найти частное решение дифференциального уравнения
.
Пусть функция , удовлетворяющая данному уравнению имеет изображение: . Тогда воспользовавшись утверждением о дифференцируемости оригинала запишем:
, а .
Правая часть уравнения преобразуется следующим образом:
.
Приходим к операторному уравнению: .
Выразим из полученного уравнения изображение частного решения дифференциального уравнения:
.
Найдем разложение получившейся дроби на сумму дробей, представляющих собой оригиналы элементарных функций.
.
Следовательно, решение исходной задачи Коши.
Найти общее решение дифференциального уравнения .
Выберем произвольные начальные условия задачи Коши. Пусть . И пусть . Тогда
и , кроме того . И соответствующее операторное уравнение имеет вид: .
Выразим отсюда :
.
И значит решением исходного уравнения будет функция
. (здесь ).
Решить интегральное уравнение .
Выпишем уравнение для изображений, воспользовавшись утверждением 8 об интегрировании оригинала. (Полагая, что ).
. Выразим функцию изображения . Найдем оригинал, соответствующий данному изображению .
Решить интегральное уравнение .
Отметим, что левая часть уравнения представляет собой свертку функций и . Переходя к соответствующим изображениям запишем
. Выражая из последнего уравнения убедимся . И, значит, этому изображению соответствует оригинал .
Решить систему уравнений
Пусть и .Выпишем соответствующую операторную систему линейных уравнений
.
Выразим из получившейся операторной системы и :
, .
Отметим, что для нахождения соответствующих оригиналов удобно воспользоваться теоремой разложения, учтя при этом, что корни знаменателя имеют первую кратность.
Таким образом , и .
Найти изображение функции Хевисайда: (см. рис.)
Ранее было получено, что изображением для оригинала является функция , тогда, воспользовавшись теоремой запаздывания, получим: .
Найти изображение функции, заданной следующим графиком:
Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:
Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа, учитывая области определения кусочно-заданного оригинала:
.
Найти изображение ступенчатой функции, изображенной на рисунке.
Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:
. Это легко проверяется графическим сложением функций , , и т.д., изображенных на одном и том же чертеже. По теореме запаздывания получаем: . Второй сомножитель из правой части равенства представляет собой геометрическую прогрессию, со знаменателем . Так как, , то геометрическая прогрессия сходится, и получаем: .