Если функция является аналитической в замкнутой односвязной области D, то интеграл от нее по любому замкнутому контуру, расположенному в области D, равен нулю: .
Доказательство:
Пусть функция аналитическая в области D. Тогда для нее выполняютcя условия Коши-Римана (1.19)
(1.25) |
Вспомним условие равенства нулю криволинейного интеграла второго рода по любому замкнутому контуру
, | (1.26) |
тогда первое условие (1.19) обращает в ноль второй интеграл в правой части равенства (1.25), а второе условие (1.19) – первый. Что и требовалось доказать.
Можно доказать, что для аналитической функции интеграл по контуру зависит только от начальной и конечной точек интегрирования. Более того, для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница
, | (1.27) |
где - первообразная аналитической функции .
Пример 1.23
Вычислить интеграл .
Решение
Подынтегральная функция является аналитической. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница (1.27), получим
.
Задачи для самостоятельного решения
Задания | Ответы | |
, найти | ||
, найти | ||
, найти | ||
Найти | ||
Найти | ||
Какая линия описывается уравнением ? | Окружность с центром в начале координат и радиусом 2 | |
Найти | ||
Вычислить | ||
Вычислить | ||
Решить уравнение | ||
Какие из функций являются аналитическими а) ; б) ; в) ? | Только в) | |
Решить уравнение |
Глава 2
Элементы операционного исчисления
Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа.
Функцией-оригиналом называется функция , удовлетворяющая следующим трем условиям:
1. – непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале.
2. Существуют такие числа М и , что .
Это неравенство означает, что может расти не быстрее экспоненциальной функции . Например, – не является оригиналом.
3. , для всех .
Первые два условия часто выполняются в практических задачах. Чтобы выполнялось третье условие, используется функция
(2.1) |
которая называется функцией Хевисайда.
Все функции-оригиналы в операционном исчислении считаются умноженными на множитель Хевисайда . Однако этот множитель, как правило, не записывается, а только подразумевается.
Функция называется изображением функции , если они связаны соотношением
(2.2) |
Правая часть (2.2) – преобразование Лапласа для функции , а сам интеграл называется интегралом Лапласа; p – комплексный параметр. Тот факт, что является изображением функции , символически записывается в виде или = , L – оператор Лапласа:
.
Пример 2.1
Найдем изображение 1 или функции Хевисайда , определенной равенством (2.1).
или .
.
Таким образом, получили изображение функции Хевисайда или изображение единицы:
(2.3) |
Пример 2.2
Найдем изображение функции .
.
. | (2.4) |
Свойство линейности
Пусть и , тогда
(2.5) |
Это свойство является следствием линейности оператора Лапласа, т.е. следствием линейности определенного интеграла.
Пример 2.3
.
Таким образом,
(2.6) |
Аналогично можно получить изображение
(2.7) |
Задание.
Найти изображения функций: 1) , 2) .
Ответы: 1) ; 2) .
Свойство подобия
Пусть , тогда
, | (2.8) |
Доказательство.
=
=
Пример 2.4
Используя формулы (2.6) и (2.8) Найдем изображение функции .
.
Таким образом,
(2.9) |