Основные формулы
1. Закон Кулона:
2. Напряженность электростатического поля:
3. Напряженность поля точечного заряда:
4. Напряженность поля равномерно заряженной плоскости:
5. Напряженность поля между двумя равномерно и разноименно заряженными бесконечными параллельными плоскостями:
6. Вектор электростатической индукции:
7. Работа перемещения заряда в электрическом поле из точки А в точку В:
8. Потенциалы поля точечного заряда:
9. Потенциал электрического поля металлической полой сферы радиуса R на расстоянии r от центра сферы:
а) на поверхности и внутри сферы: ;
б) вне сферы (r>R):
10. Связь между напряженностью поля и потенциалом:
11. Сила притяжения между двумя разноименными заряженными обкладками конденсатора:
12. Электрическая ёмкость уединенного проводника:
13. Ёмкость сферического проводника:
14. Ёмкость плоского конденсатора:
15. Ёмкость батареи параллельно соединенных конденсаторов:
16. Формула для определения ёмкости батарей последовательно соединенных конденсаторов:
17. Энергия заряженного проводника:
18. Энергия заряженного плоского конденсатора:
19. Объемная плотность энергии электрического поля:
20. Сила тока:
21. Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС:
22. Закон Ома для полной цепи:
23. Закон Ома в дифференциальной форме:
24. Закон Джоуля – Ленца:
25. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме:
26. Термоэлектродвижущая сила:
27. Сопротивление однородного проводника:
28. Удельная проводимость (электропроводность):
29. Зависимость удельного сопротивления от температуры:
30. Полная мощность, выделяющаяся в цепи постоянного тока:
31. Коэффициент полезного действия источника тока:
32. Законы Кирхгофа:
а) ;
б)
33. Работа кулоновской силы:
34. Первый закон Фарадея для электролиза:
35. Второй закон Фарадея для электролиза:
36. Индукция магнитного поля:
37. Закон Ампера:
38. Механический момент, действующий на контур с током в магнитном поле:
39. Магнитный момент контура с током:
40. Закон Био – Савара – Лапласа: .
41. Напряженность магнитного поля в центре кругового тока радиуса R(H1) и на оси на расстоянии b от плоскости витка (H2):
42. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля:
43. Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямым проводником с током на расстоянии R от проводника:
44. Напряженность магнитного поля, созданного отрезком проводника:
45. Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида:
46. Сила взаимодействия двух прямолинейных параллельных проводников с током:
47. Напряженность магнитного поля, создаваемого движущимся зарядом:
48. Сила Лоренца:
49. Магнитный поток для однородного магнитного поля и плоского контура:
50. Работа по перемещению проводника с током и контура с током в магнитном поле:
51. Основной закон электромагнитной индукции:
52. Потокосцепление:
53. Электродвижущая сила самоиндукции:
54. Индуктивность соленоида:
55. Потокосцепление соленоида:
56. Количество электричества, протекающего в контуре при возникновении в нем индукционного тока:
57. Энергия магнитного поля:
58. Объемная плотность энергии магнитного поля:
59. Формула Томсона:
60. Длина волны:
61. Скорость распространения электромагнитных волн в среде:
62. Обобщенный закон Ома для цепи, переменного тока:
63. Полное сопротивление (импеданс) цепи, состоящий из последовательно соединенных R, L, C элементов:
64. Кажущаяся (полная) мощность в цепи переменного тока:
65. Активная мощность в цепи переменного тока: (Вт).
66. Реактивная мощность в цепи переменного тока: (ВАр).
67. Коэффициент мощности:
Примеры решения задач
Задача 1. Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии 0,5 м один от другого. Величина одного заряда вдвое больше другого заряда. На прямой, соединяющей эти заряды, находится третий заряд. Определить, на каком от большего заряда находится третий заряд, если система находится в равновесии?
Дано: r = 0,5 м; q2= 2q1. x -? | Решение:
F2 F1
x q1 q3 q2
Рис. 8
| ||
На заряд q3 действуют силы: F1 и F2 – электрические силы взаимодействия с зарядами q1 и q2 соответственно. Запишем условия равновесия в скалярной форме относительно оси Х: F1 – F2 = 0, откуда F1 = F2. Учитывая, что ; где х – расстояние между зарядами q2 и q3. Получаем или ; откуда х = 1,4(r – x); 2,4x = 1,4r. . Ответ: х = 0,3 м. |
Задача 2. Бесконечная вертикальная плоскость заряжена с поверхностной плотностью, равной 10мкКл/м2. К плоскости на шелковой нити подвешен шарик массой 1,5 г. Определить заряд шарика, если нить образует угол 30о с плоскостью.
Дано:
=10мкКл/м2= 10-5 Кл/м2;
m = 1,5г = 1,5.10-3 кг;
= 30о.
q -? | Решение: у Т Fк х mg Рис. 9 | |||
На заряженный шарик, подвешенный на нити, в электрическом поле действуют: F – электрическая сила, с которой поле плоскости действует на заряженный шарик, mg – сила тяжести, Т – сила натяжения нити. Запишем условия равновесия шарика относительно осей х и у: Ось х F - Tsin = 0; (1) Ось у -mg + Tcos = 0. (2) Решая (1) и (2) получим F = mg tg . (3) Учитывая, что F=Eq, a , получим , . . Ответ: q = 15,5 нКл. |
Задача 3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 2.10-7 Кл и -2.10-7 Кл. Расстояние между зарядами 50 см. Определить напряженность электрического поля в точке А, находящейся на расстоянии 40 см от первого заряда и на расстоянии 30 см от второго заряда.
Дано: q1 = 2.10-7 Kл; q2 = -2.10-7 Kл; r = 50 cм = 0,5 м; r1 = 40 см = 0,4 м; r2 = 30 см = 0,3 м; Е -? |
r1 E2
q1 q2 r Рис. 10 | ||||
Согласно принципу суперпозиции напряженность Е равна – векторной сумме напряженностей 1 и 2, т.е. Е = Е1 + Е2. (1) По теореме косинусов , (2) где , (3) . (4) cos найдем . . ; следовательно, = 900. Уравнение (2) примет вид: . (5) Подставим численные значения: . Ответ: Е = 2,3.104 В/м. |
Задача 4. Электрон, начальная скорость которого 2 Мм/с, влетает в однородное электрическое поле с напряженностью 10 кВ/м так, что вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности. Определить скорость электрона по истечении времени 1 нс.
Дано: 0= 2 Мм/с = 2.106 м/с; Е = 10 кВ/м = 107 В/м; t = 1 нс = 10-9 с. -? | Решение: – 0 1 Рис. 11 + |
На электрон, находящийся в электрическом поле, действует сила , (1) где е – заряд электрона. Направление этой силы противоположно направлению силовых линий поля. В данном случае сила направлена перпендикулярно скорости 0. Она сообщает электрону ускорение , (2) где m – масса электрона. Таким образом, в момент времени t скорость электрона = 0 + 1, где 1 – скорость, которую получает электрон под действием сил поля. Скорость 1 найдем по формуле: . (3) Так как скорости 0 и 1 взаимно перпендикулярны, то значение результирующей скорости: . (4) Подставив в (4) выражение скорости (3) и учтя (2), получим . 2,66 Мм/с. Ответ: = 2,66 Мм/с. |
Задача 5. Воздушный конденсатор с зарядом на обкладках q1 площадью обкладок S и расстоянием между ними d погружают в жидкость с диэлектрической проницаемостью E2 на его объема. Найти напряжение на обкладках конденсатора после погружения.
Дано: q; d; E1; E2; V2= V1. U -? | Решение: с1 E1 с2 E2 Рис. 12 Рис. 13 |
Конденсатор, частично погруженный в жидкость, можно представить в виде двух параллельно соединенных конденсаторов с одинаковым расстоянием между обкладками d, одинаковым напряжением на них U, но с разными диэлектрическими проницаемостями E1 и E2 и разными площадями обкладок: и , где и , поэтому и . Общая емкость этой батареи с = с1 + с2, где и , поэтому (1) Суммарный заряд на батарее из этих двух конденсаторов остался таким же, каким был до погружения: , откуда . (2) Подставив (1) в (2) . Ответ: . |
Задача 6. Сопротивление платиновой проволоки при температуре 20 0С равно 20 Ом, а при температуре 500 0С – 590 м. Найти температурный коэффициент.
Дано: t1 = 20 0С; R1 = 20 Ом; t2 = 500 0С; R2 = 59 Ом. -? | Решение: Сопротивление проводника при температурах t1 и t2 определяется формулами: R1 = R0(1 + t1); R2 = R0(1 + t2), где R0 – сопротивление этого проводника при 0 0С. Разделим эти равенства друг на друга: |
, откуда R1(1 + t2) = R2(1 + t1); R1+ R1 t2 = R2+ R2 t1; R1 t2 - R2 t1 = R2 – R1; (R1t2 - R2t1) = R2 – R1; ; = 0,0044 К-1. Ответ: = 0,0044 К-1. |
Задача 7. Амперметр сопротивлением 0,1 Ом имеет шкалу до 4 А. Какое сопротивление должно быть у шунта, чтобы увеличить предел измерения амперметра до 24 А?
Дано: R1 = 0,1 Ом; I1 = 4 A; I2 = 24 A. Rш -? | Решение: Iш I2 I1 A Рис. 14 |
Ток в неразветвленной части цепи I2 = I1 + Iш, но так как шунт и амперметр соединены параллельно, то U = IR1 = IшRш. , т.е. I2 = I1 + ; отсюда ; Ом. Ответ: Rш = 0,02 Ом. |
Задача 8. Вольтметр сопротивлением 200 Ом имеет шкалу до 60 В. Какое дополнительное сопротивление нужно подключить к вольтметру, чтобы увеличить предел измерения вольтметра до 300 В?
Дано: R1 = 200 Ом; U1 = 60 В; U2 = 300 В. R -? | Решение: R V Рис. 15 |
При последовательном соединении напряжение на концах участка U2 = U1 + UR, так как ток во всех участках цепи одинаков, то или , ; отсюда . Ом = 800 Ом. Ответ: R = 800 Ом. |
Задача 9. Как изменится температура медного провода, если по нему в течение 5 с проходит ток плотностью 9 А/мм2 и 25 % тепловой энергии отдается окружающим телам?
Дано: t = 0,5 с; 2 = 9 А/мм2 = 9.106 А/м; = 0,75 Т -? | Решение: Запишем выражение для КПД , (1) Qп – количество теплоты, затраченное на нагревание проводника. |
Qп = m c T, учитывая, что m = V, a V = l S, получим Qп = l S c T, (2) = 8900 кг/м3 – плотность меди; с = 380 Дж/(кг. К) – удельная теплоемкость меди; Qз – количество теплоты, которое выделится при прохождении электрического тока по проводнику. По закону Джоуля - Ленца Qз = I2Rt, учитывая, что I = jS, a R = , получим Qз = j2 t = j2S l t, (3) = 1,7.10-8 Ом . м – удельное сопротивление меди. Подставляем (2) и (3) в (1) . . . Ответ: Т = 1,5 К. |
Задача 10. Батарея элементов состоит из параллельно соединенных источников тока с ЭДС 5,5 В и внутренним сопротивлением каждого источника
5 Ом. При силе тока во внешней части цепи 2 А полезная мощность (т.е. мощность тока во внешней части цепи) равна 7 Вт. Сколько источников тока содержит батарея?
Дано: Е = 5,5 В; r = 5 Ом; I = 2 А; Р = 7 Вт. n -? | Решение: Закон Ома для n параллельно соединенных источников тока с одинаковыми ЭДС и внутренними сопротивлениями: . (1) - внешнее сопротивление. (2) |
Подставляем (1) в (2) получим . . Ответ: n = 5. |
Задача 11. Сколько электроэнергии надо затратить для выделения в процессе электролиза 1 л кислорода при температуре 27 ОС и давлении 105 Па, если электролиз ведется при напряжении 10 В и КПД процесса 75 %?
Дано: V=1л = 10-3 м3; Т=27 ОС+ 273 ОС=300 К; U = 10 В; Р=105 Па; = 0,75; К=0,083.10-6 кг/Кл; =32.10-3 кг/моль. А3 -? | Решение: Запишем формулу КПД , (1) где АП = IUt – работа, совершаемая эл. током. (2) Силу тока выразим из закона Фарадея для электролиза m = Kit; . (3) |
Подставим (3) в (2) . (4) Массу кислорода найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона ; . (5) Подставим (5) в (4) . (6) Подставим (6) в (1) получим , отсюда . . Ответ: АЗ=2.105 Дж. |
Задача 12. Термопара, сопротивление которой 6 Ом, позволяет определить минимальное изменение температуры tмин = 0,006 0С. Найти сопротивление гальванометра, подключенного к термопаре. Постоянная термопары
Дано: Ом; tмин = 0,006 0С; |
Электродвижущая сила , возникающая в термопаре при разности температур ее спаев, вычисляется по формуле (1) С другой стороны, согласно закону Ома (2) | ||
где - сила тока в цепи термопары; - полное сопротивление цепи; - сопротивление гальванометра. Приравнивая правые части (1) и (2), получим откуда (3) Но где - число делений, на которое отклонилась стрелка гальванометра при силе тока . Подставив указанные выражения и в (3) и сократив на , получим (4) Выпишем числовые значения в СИ и подставим их в (4): Ом; Ом = 14 Ом. Ответ: = 14 Ом. |
Задача 13. По двум длинным прямолинейным и параллельным проводам, расстояние между которыми 4 см, в противоположных направлениях текут токи , Найти магнитную индукцию поля в точке , которая находится на расстоянии 2 см от первого провода на продолжении линии, соединяющей провода.
Дано: ; ; ; | Решение:
Рис. 16
| ||||||||||||
На рисунке провода расположены перпендикулярно к плоскости чертежа. Маленькими кружочками изображены сечения проводов. Условимся, что ток течет к нам, а ток - от нас. Общая индукция в точке равна векторной (геометрической) сумме индукции и полей, создаваемых каждым током в отдельности, т.е. (1) Для того чтобы найти направление векторов и , проведем через точку силовые линии магнитных полей, созданных токами и . Силовые линии магнитного поля прямого провода с током представляют собой концентрические окружности с центром на оси провода. Направление силовой линии совпадает с движением концов рукоятки правого буравчика, ввинчиваемого по направлению тока (правило буравчика). Поэтому силовая линия магнитного поля тока , проходящая через точку , представляет собой окружность радиусом а силовая линия магнитного поля тока , проходящая через эту же точку, - окружность радиусом (на рис. 6 показана только часть этой окружности). По правилу буравчика находим, что силовая линия магнитного поля тока направлена против часовой стрелки, а тока - по часовой стрелке. Теперь легко найти направление векторов и в точке : каждый из них направлен по касательной к соответствующей силовой линии в этой точке. Так как векторы и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить алгебраическим равенством (2) Индукция магнитного поля тока , текущего по прямому бесконечно длинному проводу, вычисляется по формуле (3) где - магнитная постоянная; - магнитная проницаемость среды, в которой провод расположен; - расстояние от провода до точки, в которой определяется индукция. Подставив значения и в равенство (2), получим или (4) Выразим числовые значения в СИ и подставим их в (4): Ответ: |
Задача 14. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 5 мТл по окружности. Найти период его обращения. Масса электрона 9,1.10-31 кг, модуль его заряда 1,6.10-19 Кл.
Дано: В = 5 мТл = 5.10-3 Тл; m = 9,1.10-31 кг; е = 1,6.10-19 Кл. Т -? | Решение: На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца , (1) где = 900 и sin 90 = 1. По второму закону Ньютона эта сила F = m , |
где - центростремительное ускорение, тогда . (2) Приравниваем правые части (1) и (2) . Учитывая, что . , отсюда . с = 7.10-9 с. Ответ: Т = 7 нс. |
Задача 15. В однородное магнитное поле индукцией 10-4 Тл влетает -частица со скоростью 2.103 м/с под углом 300 к направлению вектора индукции. Определить радиус витков траектории -частицы и ра