Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Пример 1. Вычислить интеграл , где область ограничена прямыми .
Решение. Прямоугольная область задается неравенствами , она простая в любом направлении. Перейдем от двойного интеграла к повторному по:
.
Вычислим сначала внутренний интеграл:
.
Осталось вычислить внешний интеграл
.
Изменим порядок интегрирования
.
Теперь внутренний интеграл: ,
Внешний: .☻
Пример 2. Вычислить интеграл , где область ограничена линиями .
Решение. Область можно задать неравенствами . Область размещена в вертикальной полосе , снизу ограничена линией , сверху – линией , т.е.она простая. Запишем: .
Внутренний интеграл: ,
Внешний:
Эту же область можно задать другой системой неравенств: . Теперь область размещена в горизонтальной полосе , слева ограничена линией , справа – линией , т.е.она простая.Запишем:
.
Внутренний интеграл
Внешний: ☻
Пример 3. Вычислить интеграл , где область ограничена линиями , , ;.
Решение. Область зададим неравенствами . Эта область размещена в горизонтальной полосе , слева ограничена линией , справа – линией , т.е. область простая.Запишем:
.
Попробуем для этой области изменить порядок интегрирования. Если поместить область в вертикальную полосу , то нижняя граница – линия , а верхняя граница составлена из двух линий, параболы и прямой . Поэтому в направлении оси область не является правильной. Разобьем область прямой на части и : , . Области и являются простыми. Двойной интеграл представим в виде суммы двух интегралов:
.
.
Мы видим, что для этого интеграла меньше вычислений оказалось при первом выборе порядка интегрирования. ☻
Замена переменных в двойном интеграле.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Пример 1. Вычислить интеграл , – круг .
Решение. В заданном круге полярный радиус изменяется от до ; полярный угол изменяется от до . Перейдем к полярным координатам, тогда подынтегральная функция примет вид . Запишем:
.
Область D в декартовой системе координат определяется неравенством , а в полярной системе координат – неравенствами , . Область D– круг в плоскости – преобразуется в область – прямоугольник в плоскости . ☻
Приложения двойного интеграла
Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
.
Решение. Сверху тело ограничено поверхностью – это параболический -цилиндр (его образующие параллельны оси ). С боков тело ограничено вертикальными плоскостями и . Снизу тело ограничивает плоскость . Область интегрирования – треугольник в плоскости , . По формуле (а) запишем:
.☻
Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями и .
Решение. Параболоид вращения с вершиной в точке , ограничивает тело снизу. Второй параболоид вращения с вершиной в точке , ограничивает тело сверху. Решаем систему
Получили уравнение линии пересечения параболоидов, она проектируется на плоскость в границу круга .
Найдём объем тела с основанием и ограниченного сверху поверхностью :
.
Переходим к полярным координатам:
.
Найдём объем тела с основанием и ограниченного сверху поверхностью :
.
Очевидно, объём тела равен разности найденных объёмов:
. ☻
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. По формуле (б)
.
Вычислим .
Такого типа задачи решали раньше с помощью определенного интеграла. ☻
Пример 4. Найти площадь эллипса .
Решение. Перейдем к обобщенным полярным координатам . Найдем якобиан преобразования:
.
На эллипсе переменные изменяются в пределах , . По формуле (б) . Этот результат нам уже знаком. ☻
Пример5. Найти массу, статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной эллипсом и координатными осями. Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.
Решение: По условию, плотность , где – коэффициент пропорциональности. Область интегрирования . По формуле (г) находим массу пластинки: .
Находим статические моменты пластинки находим по формулам (д):
, .
Наконец, по формулам (е) находим координаты центра тяжести:
. и .☻