Выделим точку М в пространстве . В плоскости , в которой принимается полярная система координат, определяется положение точки N (проекция точки М на плоскость ). Положение точки относительно плоскости определяется координатой z. Тогда координатами точки М в пространстве будут три числа: , где определяет положение точки М над плоскостью – смотри рисунок, а величины тождественны полярным координатам точки в плоскости .
Обычно будем считать, что угол изменяется в диапазоне: , а расстояние точки до полюса O – в диапазоне: . Диапазон изменения координаты вполне очевиден: .
Замечания: цилиндрические координаты некоторые авторы называют ещё полуполярными.
Совместим полюс цилиндрической системой координат и начало O прямоугольной системы координат. Пусть также полярная ось ОХ цилиндрической системы совпадает с осью OX декартовых координат, а ось с осью декартовых координат.
Используя рисунок, нетрудно записать выражения для перехода от одних координат выделенной точки к другим:
1). От цилиндрических координат к декартовым координатам: (10)
2). От декартовых координат к цилиндрическим координатам:
, , . (11)
Замечания: 1) из выражений (11) необходимо учитывать и выражение для косинуса, и выражение для синуса, так как только так можно однозначно определить положение луча, содержащего выделенную точку;
2) следует учесть также, для начала координат из выражений (11) угол определить не удаётся: нарушается взаимно однозначное соответствие систем координат.
Полярные (сферические) координаты в пространстве.
В этом случае положение точки М в пространстве определяется тремя числами – показано на рисунке. Постоянными элементами, относительно которых определяется положение любой фигуры пространства, являются: полюс – точка O; полярная ось – ось ОZ; полярная полуплоскость – плоскость .
Обычно будем считать, что угол изменяется в диапазоне: , угол изменяется в диапазоне: , а расстояние точки до полюса O – в диапазоне: . Применяемые диапазоны изменения координат обеспечивают взаимно однозначное соответствие всех точек, определяющих геометрические фигуры, и их координат – аналитических моделей!
Используя рисунок, нетрудно записать выражения для перехода от сферических координат к прямоугольным декартовым координатам:
1). От цилиндрических координат к декартовым координатам: (12)
2). От декартовых координат к цилиндрическим координатам:
, , , . (13)
Замечания: 1) из выражений (13) необходимо учитывать и выражение для косинуса, и выражение для синуса, так как только так можно однозначно определить положение луча, содержащего выделенную точку;
2) следует учесть также, для начала координат ( =0) из выражений (13) углы определить не удаётся: нарушается взаимно однозначное соответствие систем координат;
3) специальные системы координат часто применяют в физике; эффективно их применяют и в математическом анализе.
Представленные ниже задачи иллюстрируют преобразование и использование систем координат.
☺☺
Пример Д – 4: Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку . Координаты точек = (1,3), = (–3,0) и =(–1,4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.
Решение:
1). Имеем на плоскости системы координат: , и . Система координат получается параллельным переносом системы . Система координат получается вращением системы на угол , причём за положительное направление вращение принято вращение оси против часовой стрелки.
Определим для принятых систем координат базисные векторы. Так как система получена параллельным переносом системы , то для обеих этих систем примем базисные векторы: , причём единичные и совпадающие по направлению с осями координат , , соответственно. Для системы в качестве базисных векторов примем единичные векторы , совпадающие по направлению с осями , .
Результат преобразования системы координат в систему координат представлен в выражениях:
при =0 → (1.1)
2). По условию задачи: a =3, b =–4 и =0. Тогда (1.1) принимают вид:
3). Используя полученные формулы, вычислим координаты заданных точек в старой системе координат : = (4,–1), = (0,–4) и =(2, 0).
Ответ: = (4,–1), = (0,–4), = (2, 0).
Пример Д – 5: Начало координат неподвижно, координатные оси повёрнуты на угол =600. Координаты точек = (2 ,–4), = (,0) и =(0,–2 ) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.
Решение:
1). Воспользуемся формулами, приведёнными в Примере Д – 4 для случая a =0, b =0 и =600:
→ (1.1)
2). В формулы (1.1), подставим координаты точек , , . После несложных вычислений получим координаты этих точек в системе координат :
= , = , = .
Ответ: = , = , = .
Пример Д – 6: Две системы координатных осей , имеют общее начало O и преобразуются одна в другую поворотом на некоторый угол. Координаты точки = определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси определено отрезком .
Решение:
1). В системе координат задана точка = . Будем считать, что перед преобразованием имеем совпадающие системы координат и . К системе координат применено преобразование вращения так, что относительно исходного своего положения, то есть относительно системы , эта система оказывается повёрнутой на угол . В системе координат координаты точки составляют пару чисел: . Для рассматриваемого случая были получены выражения, определяющие связь координат точки в системах координат: и :
(1)
2). Используя вектор , найдём: = , =– , после чего формулы преобразования координат:
откуда: (F)
Ответ: текст: формулы (F).
Рассмотренные Примеры Д – 1 Д – 6 иллюстрирует переходы от одной системе координат к другой с использованием готовых формул и получением в рамках заданных условий.
☻