Задание 1. Тема: Пределы функций.
Основные теоремы о пределах.
Т1. .
Т2. . , .
, .
Т3. при .
Основные пределы
1. , .
2. Первый замечательный предел: .
3. Второй замечательный предел: , .
, , ,
, , .
Пример.1 Найти пределы:
Основные эквивалентности:
Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными при , если . Обозначение ~ .
Так, например, ~ , т.к. , ~ , т.к. .
~ при | ~ при | ||
~ при | ~ при | ||
~ при | ~ при | ||
~ при | ~ при | ||
~ при | ~ при | ||
~ при | ~ при | ||
~ при | ~ , |
Вычисление пределов.
Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке в функцию предельного значения аргумента, т.е. . Более сложными являются случаи нахождения пределов функций, где присутствуют неопределенности.
1. «неопределенность вида ». Делим числитель и знаменатель на - максимальную степень.
Пример 1. .
Пример 2. .
Пример 3. .
Таким образом, если функция под знаком предела представляет собой отношение многочленов , то:
1) , если ;
2) , если ;
3) , если . Здесь и - коэффициенты при старших членах многочленов и соответственно.
Так же вычисляются пределы от иррациональных функций.
2. «неопределенность вида ». Для вычисления предела необходимо выделить в числителе и знаменателе дроби бином при , с целью сокращения дроби на множитель, стремящийся к нулю.
Пример 4. .
Пример 5. . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители
Пример 6. .
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на .
и
Вообще, если находится предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке , то согласно теореме Безу оба многочлена разделятся без остатка на , т.е. такую дробь всегда можно сократить на .
Пример 7. Найти: . Разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на :
Пример 8. . Умножим числитель и знаменатель на произведение выражений, сопряженных числителю и знаменателю, и затем сократим дробь на :
Пример 9. . Сделаем замену переменной: при . Имеем
3. «неопределенность вида ». Необходимо перейти к неопределенности вида или .
Пример 10.
4. «неопределенность вида ». Переход к или .
Пример 11.
5. «неопределенность вида ». Необходимо использовать формулу второго замечательного предела или, для более сложных случаев, формулу
(*)
Пример 12. . Используем формулу (*).
.
Пример 13. . Используем формулу (*).
.
Задание 2. Тема: Непрерывность функции в точке.
Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.
Функция называется непрерывной в точке , если:
1) она определена в этой точке;
2) $ ; и 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.
. (1)
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называетсяразрывной в точке . Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва.
Различают два вида точек разрыва для функции :
І.Точка разрыва первого рода – точка , в которой существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и , причем, если:
а) , то называется точкой устранимого разрыва;
б) , то называется точкой конечного разрыва, при этом величину называют скачком функции.
ІІ. Точка разрыва второго рода – точка , в которой, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности (бесконечный разрыв).
Пример 1. Функция в точке имеет бесконечный разрыв (второго рода), т.к. , при этом в точке функция не определена.
Вспомним понятия односторонних пределов:
О. Если стремится к пределу при так, что принимает только значения, меньшие , то называют пределом функции слева в точке ,если же стремится к пределу при так, что принимает только значения, большие , то называют пределом функции справа в точке .
У нас функция при , т.к. . И функция при , т.к. .
Пример 2. Функция в точке имеет конечный разрыв (первого рода), так как , при этом функция определена всюду, кроме точки . Скачек функции в этой точке равен 2-(-2)=4. Рисунок:
0 1
-2
Задание 3. Тема: Производная функции.
Основные правила дифференцирования
Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.
1. .
2. , , .
3. .
4. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле .
Производные основных элементарных функций.
1. , ,
2. ,
3. ,
4. , , ,
5. , , ,
6. , , ,
Дифференцирование неявных функций
Функция, заданная уравнением , не разрешенным относительно , является неявно заданной функцией аргумента . Для нахождения производной функции достаточно:
1) продифференцировать обе части равенства по переменной , (, а производная от равна );
2) полученное уравнение разрешить относительно .
Пример 1. Найти , если .
,
Пример 2. Найти , если .
Дифференцирование параметрически заданных функций
Функция , заданная параметрически имеет вид
,
где - вспомогательная переменная (параметр), а функции и дифференцируемы по . Производные первого и второго порядка находятся по формулам:
и соответственно.
Пример 3. Найти функции .
- производная первого порядка.
Тогда - производная второго порядка.
Логарифмическое дифференцирование (ЛД)
Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их предварительно прологарифмировать.
ЛД полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Кроме того, существуют функции, производные которых находят только лишь через операцию логарифмирования, например, показательно-степенная функция , где и - дифференцируемые функции от .
Найдем производную этой функции. Дифференцируем обе части равенства по основанию :
, или .
Теперь дифференцируем обе части равенства
, Þ или .
Пример 3. Найти производные следующих функций:
а) ; б) ; в) .
а) , Þ , Þ ,
Þ , Þ - окончательный ответ.
б) , Þ , Þ
, Þ , Þ
- окончательный ответ.
в) , Þ , Þ , Þ , Þ
- окончательный ответ.
Примеры вычисления производных.
1. , ;
2. , ;
3. , ;
4. , ;
5. , ;
6. , ;
7. , ;
Задание 5. Тема: Правило Лопиталя.
Т1. ( Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ). Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке, т.е. . Пусть в окрестности точки . Тогда, если существует предел , то
.
Т2. ( Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ). Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ) и в этой окрестности . Тогда, если существует предел (), то
.
Пример 1. Вычислить .
Пример 2. Вычислить .
Пример 3. .
Пример 4. .
Пример 4. . Выведем формулу, удобную для применения в таком случае. Пусть . Логарифмируем: , Þ , откуда . Тогда
. (*)
Пример 4. . . Используем формулу (*).
.
Формула (*) применяется и для случаев неопределенности вида , .
Задание 6. Тема: Исследование функций и построение графиков.
Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:
I. Область определения функции.
II. Элементы симметрии графика функции:
а) четность, нечетность; б) периодичность.
III. Непрерывность:
а) интервалы непрерывности;
б) поведение функции на границах интервалов непрерывности;
в) точки разрыва функции.
IV. Нули функции и интервалы знакопостоянства функции.
V. Асимптоты графика функции:
а) вертикальные; б) горизонтальные; в) наклонные.
VI. Экстремумы:
а) нахождение точек возможного экстремума (ТВЭ);
б) интервалы возрастания и убывания функции;
в) максимум, минимум функции.
VII. Выпуклость, вогнутость:
а) нахождение точек возможного перегиба (ТВП);
б) интервалы выпуклости и вогнутости функции;
в) точки перегиба.
VIII. Табуляция (дополнительные точки, минимум 20 точек).
IX. График функции.
X. Множество значений функции (по графику).
Пример. Исследовать и построить график функции .
I. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки .
II. В точке функция имеет бесконечный разрыв: и . Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.
III. функция общего положения, т.е. график не имеет симметрии. Функция непериодическая.
IV. Находим точки пересечения с осями координат:
а) с осью : , ;
б) с осью : , нет точек пересечения с осью ,
Таким образом, график функции пересекает ось в точке и не пересекает оси .
Слева от точки разрыва, при , ; между точкой разрыва и точкой пересечения с осью , при , ; справа от точки пересечения с осью , при , .
V. Асимптоты.
а) , прямая является вертикальной асимптотой;
б) , горизонтальных асимптот нет;
в) , , - наклонная асимптота.
VI. . , Þ - ТВЭ; - не существует в точке , но эта точка не является ТВЭ, т.к. она является точкой разрыва.
Слева от точки минимума при , - функция убывает, между точкой минимума и точкой разрыва при , - функция возрастает; справа от точки разрыва при , - функция убывает.
.
VII. ; ; не существует при , но этаточка не может быть точкой перегиба, т.к. она является точкой разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба. Во всей области определения функции , поэтому ее график всюду обращен выпуклостью вниз (вогнут).
VIII. Табуляция (в Excel)
IX. График.
X. Множество значений
|
Задание 7. Тема: Комплексные числа.
Алгебраической формой комплексного числа (КЧ) называют число вида
,
где – мнимая единица – число, дающее в квадрате «-1». Частные случаи комплексного числа:
, Þ – мнимое число;
, Þ – действительное число.
Число называется сопряженным числу .
Тригонометрическая форма КЧ:
, (1)
где -модуль КЧ., угол - главное значение аргумента КЧ. Связь между , и такая же, как между декартовыми и полярными координатами точки:
;
В частности:
- для действительного положительного числа , ;
- для действительного отрицательного числа , ;
- для мнимого положительного числа , ;
- для мнимого отрицательного числа , .
Пример 1. Записать КЧ в тригонометрической форме.
Модуль для всех чисел . Аргументы:
- для : , так как , - в І четверти;
- для : , так как , - в ІU четверти;
- для : , так как , - во ІІ четверти;
- для : , так как , - в ІІІ четверти;
Показательная форма комплексного числа: .
Здесь - главное значение аргумента КЧ.
Например, число , данное в алгебраической форме, может быть записано в тригонометрической форме и в показательной форме .
Действия над комплексными числами
Пусть даны 2 комплексных числа и .
1. Сложение, вычитание:
,
2. Умножение:
.
В частности - действительное число. Надо помнить, что .
Например: , .
3. Деление:
.
Например: .
4. Возведение в степень.
Возведение комплексного числа в - ю степень производится по формуле Муавра:
.
Формула Муавра применима при любом : дробном, положительном, отрицательном. При дробном необходимо учитывать многозначность результата.
В частности, имеем: , , ….
Например: Пусть , тогда
.
5.Извлечение корня -й степени.
Как действие, обратное возведению в степень, производится по формуле Муавра для дробного показателя
.
Геометрически, значения корня являются вершинами правильного - угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат радиуса R= .
Пример 1. Вычислить все значения .
Имеем , откуда
.
При получим .
Построение точек