Отчет по практической работе №2
Вейвлет преобразование
Выполнил: бакалавр группы БИВ - 162
Цветов Павел Александрович
Проверил: доцент Чурков В.М.
30 апреля 2018 г.
Москва
Вейвлет преобразование
Вейвлет-преобразование — интегральное преобразование, которое представляет собой свертку вейвлет-функции с сигналом. Вейвлет-преобразование переводит сигнал из временного представления в частотно-временное. Является обобщением спектрального анализа, типичный представитель которого – классическое преобразование Фурье.
Основное различие лежит в следующем: преобразование Фурье раскладывает сигнал на составляющие в виде синусов и косинусов, т.е. функций, локализованных в Фурье-пространстве; напротив, вейвлет-преобразование использует функции, локализованные как в реальном, так и в Фурье-пространстве. В общем, вейвлет-преобразование может быть выражено следующим уравнением:
где * - символ комплексной сопряженности и функция ψ - некоторая функция. Функция может быть выбрана произвольным образом, но она должна удовлетворять определённым правилам.
Вейвлет-преобразование широко используется для анализа нестационарных процессов. Оно показало свою эффективность для решения широкого класса задач, связанных с подавлением шумов, сжатием больших объемов информации, анализом геофизических полей и сигналов, изучением свойств турбулентных полей, обработкой и синтезом сигналов, например, речевых, анализом изображений различной природы, например, изображений радужной оболочки глаза, рентгенограмм почки, спутниковых снимков и т. п., а также для решения многих других задач
Дискретное вейвлет-преобразование (DWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием дискретного набора масштабов и переносов вейвлета, подчиняющихся некоторым определённым правилам. Другими словами, это преобразование раскладывает сигнал на взаимно ортогональный набор вейвлетов, что является основным отличием от непрерывного вейвлет-преобразования (CWT), или его реализации для дискретных временных рядов, иногда называемой непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT).множители оказываются простыми, и даже их будет меньше, то время вычисления существенно возрастает.
Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) - реализация вейвлет-преобразования с использованием произвольных масштабов и практически произвольных вейвлетов. Используемые вейвлеты не ортогональны и данные, полученные в ходе этого преобразования высоко коррелированы. Для дискретных временных последовательностей также можно использовать это преобразование, с ограничением что наименьшие переносы вейвлета должны быть равны дискретизации данных. Это иногда называется непрерывным вейвлет-преобразованием дискретного времени (DT-CWT) и это наиболее часто используемый метод расчёта CWT в реальных применениях.
Формулы изучаемых математических функций
Вейвлет-преобразование для непрерывного сигнала относительно вейвлет функции определяется следующим образом:
Исходный сигнал может быть восстановлен по формуле обратного преобразования:
Свойства вейвлет-преобразования:
1. Линейность
2. Инвариантность относительно сдвига
3. Инвариантность относительно масштабирования
4. Дифференцирование
Результаты вычислений
Вейвлет «Мексиканская шляпа» без сдвига
Вейвлет «Мексиканская шляпа»
Вейвлет-преобразования сложного нестационарного сигнала
Одномерное дискретное Вeйвлет-преобразование вектора v с использованием 4-коэффициентного вейвлет-фильтра Добеши
Обратное одномерное дискретное вeйвлет-преобразование вектора v с использованием 4-коэффициентного вейвлет-фильтра Добеши в волновой функции
Выводы
Был проведен анализ Вейвлет-преобразования и рассмотрены различные его результаты. Были проанализированы свойства Вейвлет-преобразований. Проводилось сравнение преобразований Фурье и Вейвлета. Был рассмотрен Вейвлет спектр и его графическое представление. В работе рассмотрены типичные и простейшие представители вейвлетов, такие как Мексиканская Шляпа и вейвлет Добеши.
Ссылки на литературу
1. https://ru-wiki.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D1%82-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5
2. https://ru.bmstu.wiki/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D1%82-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5
3. https://habr.com/post/103899/
4. https://www.sibstrin.ru/files/news/_3887866.pdf
5. https://masters.donntu.org/2007/kita/ryabichenko/library/text1.htm