Из всех правильных тел вращения древесный ствол ближе всего подходит к параболоиду.
Но формула объема параболоида применительно к стволу дает большие погрешности из-за корневых наплывов в основании ствола.
Поэтому было предложено заменить в формуле параболоида площадь основания площадью сечения на половине его высоты.
Такая формула в лесотаксационной практике известна как простая формула срединного сечения, или простая формула Губера.
V =yL+ V в
где y – площадь поперечного сечения ствола на середине длины ствола; L - длина ствола от основания до вершинки; V в - объем вершинки.
Объем вершинки определяется по формуле конуса
V в=(1/3)gLh
где gL - площадь основании вершинки; h - длина вершинки.
Формула срединного сечения дает объем цилиндра, имеющего площадь основания, равную площади сечения на половине высоты параболоида, и высоту, равную высоте параболоида.
Точность формулы срединного сечения исследовалась многими авторами. Формула признана наиболее простой, удобной для применения и обеспечивающей допустимую точность.
Если у древесного ствола отделить вершинку длиной до 2 м, то оставшуюся часть ствола можно рассматривать как усеченный параболоид. Применительно к древесному стволу объем усеченного параболоида будет иметь следующий вид:
V ств = [(go + gl)/2] L + V
где go - площадь основания ствола;
gl - площадь верхнего сечения ствола;
L - длина ствола от основания до верхнего сечения
Объем вершинки с основанием gl и длиной h определяется отдельно по формуле конуса.
Таким образом, объем ствола определится как произведение полусуммы двух концевых сечений ствола (верхнего и нижнего) на высоту.
Данная формула впервые предложена Смалианом, поэтому она вошла в лесную таксацию под названием формулы Смалиана или концевых сечений.
Формула Смалиана в целом для всего ствола дает систематическую ошибку со знаком плюс (+) из-за влияния корневых наплывов. Наибольшая ошибка получается в комлевой части ствола. Это обстоятельство ограничивает применение формулы Смалиана на практике.
Рассмотренные формулы для определения объема ствола или его частей получили в таксации название простых формул. Они требуют небольших вычислений и удобны для практического использования. Однако простые формулы имеют большой недостаток - низкую точность, так как они не учитывают форму образующей ствола, а уподобляют его параболоиду.
С целью повышения точности определения объемов стволов было предложено древесные стволы делить на отрезки (секции) одинаковой длины. Длина отрезков может быть различной (0,5; 1,0 и 2,0 м) в зависимости от длины ствола. Чем длиннее ствол, тем большая длина принимается для отрезков, причем, чем меньше длина отрезка, тем лучше отражается форма образующей ствола, тем точнее определяется объем.
Однако удовлетворительная точность достигается в тех случаях, когда ствол делится на 6 – 8 отрезков. Для крупных стволов длина отрезка принята, как правило, 2 м, а в исключительных случаях, где требуется особенно высокая точность, 1 м.
После того как срубленный ствол разделят на отрезки одинаковой длины, объемы каждого из них находят по той или иной простой формуле. Сумма объемов отрезков и вершинки дает общий объем ствола. На этой основе выведены соответствующие сложные формулы для определения объема ствола.
1. Сложная формула срединных сечений (Губера).
2. Древесный ствол делят на отрезки равной длины l.
На середине каждого отрезка берутся сечения y1 + y2 + y3 т. д. Объемы отрезков определяют по простой формуле срединного сечения:
V1=y1*l
V2=y2*l
V3=y3*l
Vn=yn*l
Сложив объемы отрезков и прибавив объем вершинки, объем которой определяется, как и прежде, по формуле конуса, получают объем ствола:
V ств = (V 1+ V 2 + V 3 +... + V n-1 + V n) + V в;
Vств=(y1*l + y2*l + y3*l +.. ·+ yn-1*l + yn*l)+Vв
Вынеся за скобку длину отрезка l получим
Vств= (y1 + y2 + y3 +…. yn)l+Vв
Сложная формула срединных сечений наиболее распространена на практике, так как она удобна и обеспечивает высокую точность.
2. Сложная формула концевых сечений (Смалиана)
Как и в первом случае, древесный ствол делят на отрезки одинаковой длины l. Затем находят объ емы каждого из отрезков по простой формуле концевых сечений (Смалиана), для чего определяют площади поперечных сечений в нижних и верхних концах отрезков: go, g1, g2 g3 и т.д. Эти сечения будут расположены на всех четных метрах от основания ствола 2; 4; 6 и т. д., если длина отрезка равна 2 м.
V1 = [(go+g1)/2] l;
V 2 = [(g1 + g2)/2] l;
V3 = [(g2+g3)/2] l;
Vn_1 = [(g3+gn-1)/2] 1;
Vn = (gn-1 +gn)/2 l
Проведя ряд преобразований, формула получит следующий вид
Vств= ((g0+gn)/2+g1 + g2 + g3 +…. gn)l+Vв
Сложная формула Смалиана им еет точность несколько выше, чем соответствующая формула Губера. Точность формул на уровне 2 – 3 %. Но на практике формула Губера оказалась удобнее, поэтому ее применяют чаще.