Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная сходимость
Ряды с произвольным распределением знаков их членов называют знакопеременными. Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.
Для любого знакопеременного ряда
(1.14.1)
(здесь 
может быть как положительным, так и отрицательным) можно составить ряд из абсолютных величин его членов:
, (1.14.2)
Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов устанавливается следующей теоремой.
Теорема о сходимости знакопеременного ряда. Если ряд (1.14.2), составленный из модулей членов данного знакопеременного ряда (1.14.1), сходится, то сходится и данный ряд (1.14.1).
Доказательство. Ряд (1.14.1) меньше ряда (1.14.2), но признак сравнения здесь применять нельзя, т.к. первый ряд не является знакоположительным. Введём обозначения: 
n-я частичная сумма ряда (1.14.1), 
- сумма всех положительных членов, а 
- сумма модулей всех отрицательных членов, входящих в 
. Тогда 
, и
. (1.14.3)
Составим n- ю частичную сумму ряда (1.14.2):
. (1.14.4)
По условию ряд (1.14.2) сходится, поэтому существует конечный предел 
. Последовательность 
состоит из неотрицательных членов, с увеличением номера она возрастает, следовательно, она ограничена своим пределом сверху: 
. С другой стороны, из (1.14.4) видно, что 
(каждое из положительных слагаемых меньше их суммы). Тогда
. 
Последовательности 
и 
положительные, возрастающие и меньшие 
. Следовательно, по теореме Вейерштрасса существуют конечные пределы: 
, где 
и 
- суммы всех положительных и модулей всех отрицательных членов исходного ряда. Но тогда из (1.14.3)
В правой части - конечное число. Поэтому ряд (1.14.1) сходится, ч.т.д.
Определение. Знакопеременный ряд
(а)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
, (б)
составленный из абсолютных величин его членов.
Если ряд (а) сходится, а ряд (б), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный ряд (а) называется неабсолютно, или условно сходящимся.
Замечание 1. К ряду, составленному из модулей любого ряда, применимы признаки сравнения, Д’Аламбера и Коши.
Замечание 2. Сходящиеся ряды с положительными членами представляют собой частный случай абсолютно сходящихся рядов, т.к. их модули совпадают с самими членами.
Замечание 3. Доказанный признак сходимости знакопеременных рядов является достаточным, но не является необходимым. Это значит, что ряд 
может сходиться, а ряд 
расходиться. Например, знакочередующийся гармонический ряд Лейбница:
сходится, а ряд, составленный из его модулей (гармонический ряд):
расходится.
Знакочередующийся гармонический ряд Лейбница является классическим примером неабсолютной (или условной) сходимости ряда.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
,
где 
– любое число. Составим ряд вида
и сравним его со сходящимся обобщённым гармоническим рядом (α=2):
.
Т.к. 
, 
, и данный ряд сходится абсолютно.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами конечных сумм, в частности:
1) их можно перемножать по правилу умножения многочленов.
Например, рассмотрим два абсолютно сходящихся ряда:
Произведение этих рядов есть также абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна произведению сумм сомножителей:
.
Сумма индексов произведений в каждой скобке есть величина постоянная.
2) сумма абсолютно сходящихся рядов не изменяется при перестановке и группировке членов, т.е. эти ряды подчиняются коммутативному (переместительному) и ассоциативному (сочетательному) законам.
Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Например, перестановка членов условно сходящегося ряда может привести к тому, что ряд будет сходиться к другой сумме или даже расходиться. Более того, Риман показал, что можно переставить члены условно сходящегося ряда так, что он будет сходиться к любому наперёд заданному числу, в том числе к бесконечности.