- Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах: ∂ Q ∂ x =∂ P ∂ y.
- Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u (x, y): .
- Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: .
- Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u (x, y) во второе уравнение:
.
Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ (y):
.
- Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ (y) и, следовательно, функцию u (x, y):
.
- Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:
u (x, y)= C.
Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ (x).
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
.
где р и q — некоторые числа.
Если f(х)= 0, то дифференциальное уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид
(2)
Справедлива теорема: если у1 и у2– частные решения уравнения (2), причем у1/у2 const то функция Y=С1у1+С2y2, где С1 и С2– произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
Решением данного дифференциального уравнения (2) должна быть такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, превратит его в тождество. Левая часть уравнения представляет собой сумму функции у и ее производных у' и у", взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма обратилась в нуль, надо, чтобы y, у' и у" были подобны между собой.
Такой функцией является функция у = еkx, где k– постоянная. Требуется подобрать k так, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению (2).
Так как у' = еkx (kх)' = k еkx, а y" =k еkx (kx:)'=k2 еkx, то, подставляя эти значения у, у' и у" в левую часть уравнения (2), получим
.
Сокращая на множитель еkx, не обращающийся в нуль, получим характеристическое уравнение
(3)
Это уравнение определяет те значения А, при которых функция у = еkx является решением дифференциального уравнения (2).
При решении характеристического уравнения (3) возможны три случая:
№ | Корни уравнения | Частные решения | Общее решение |
Действительные различные (k1 k2) | Y1=ek1x Y2=ek2x | Y=C1ek1x+C2 ek2x | |
Действительные равные (k1=k2) | Y1=ek1x Y2=xek1x | Y=ek1x(C1+C2x) | |
Комплексно-сопряженные () | Y1=eaxcos , Y2=eaxsin | Y=eax(cos +C2 sin ) |
ВАРИАНТЫ
Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.
А-В | Г-Е | Ж-И | К-М | Н-П | Р-Т | У-Х | Ц-Ш | Щ-Э | Ю-Я | ||
Фамилия | т | ||||||||||
Имя | п |
ЗАДАНИЯ
1.Найти общее решение уравнения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
2. Решить задачу Коши:
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.
2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.
3. Записать исходные данные.
4. Решить задания.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дифференциальные уравнения. Их виды, порядок, общее и частное решения дифференциальных уравнений.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения и к ним приводящиеся.
4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
8. Поиск неоднородного решения методами вариации постоянных и неопределенных коэффициентов.
9. Задача Коши.
Практическая работа №7
Тема:Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины.
Цель: научиться вычислять числовые характеристики дискретной случайной величины по данному закону распределения, строить закон распределения.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Дискретная случайная величина и ее закон распределения. Числовые характеристики.
Непрерывная случайная величина и ее закон распределения.
ВАРИАНТЫ
Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.
А-В | Г-Е | Ж-И | К-М | Н-П | Р-Т | У-Х | Ц-Ш | Щ-Э | Ю-Я | ||
Фамилия | т | ||||||||||
Имя | п |
ЗАДАНИЯ
Задание 1. Проверка качества телефонов показала, что из каждых 100 телефонов имеют дефекты в среднем n+m штук.
1) Составить ряд распределений вероятностей для X – числа исправных телефонов из взятых наудачу 4 из них.
2) Найти числовые характеристики этой случайной величины.
Задание 2. Длительность безотказной работы элемента распределена по показательному закону при t > 0: F (t) = 1 – e -0,02 t. Найти вероятность того, что за время t = n часов:
а) элемент не откажет;
б) элемент выйдет из строя.