Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в).
Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на Ln (j (а) = f (а, в)). При этом f (а, в) и j (а) называются соответствующими друг другу.
Если в пространстве Ln задан базис е = (е1, е2, …, еn) и а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах
j (а) = (59)
Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется
j (а) = х Т× А × х (60)
Если в пространстве Ln зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на Ln и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на Ln, есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка n. Размерность этого пространства равна .
Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А1 в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А1 = Т Т× А × Т, где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, Т Т – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве Ln такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.
Определение 62. Если j (а) = a1 х12 + a2 х 22 + … + an х n2, то говорят, что квадратичная форма j (а) имеет канонический вид.
Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и
j (а) = х12 + х22 + … + хк2 – хк+12 – … – хr2,
то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = Снормальным видом квадратичной формы называют j (а) = х12 + х22 + …+ хк2 + хк+12 +.+ хr2.
Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.
Доказательство. Пусть j (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве Ln. Пусть в Ln задан базис е и пусть в этом базисе j (а) = х Т× А × х. Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А1 = Т– 1× А × Т будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е1, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как для ортогональной матрицы Т –1 = Т Т, то А1 – матрица данной формы в базисе е1. Итак, в базисе е1 данная форма имеет канонический вид.
Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.
Теорема 65. Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.
Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю.
1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам (*).
(*) | Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах j (а) = у12 + у22 + … + уr2. Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы. 2) Если Р = R, т.е. j (а) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми. |
(**) | j (а) = a1 х12 + a2 х 22 + … + aк х к2 – aк+1 хк+12 – … – ar хr2 Сделаем преобразование координат по формулам (**), получим j (а) = у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2. Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы. |
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
j = 2 х1х2 + 2 х1х3 – 2 х1х4 – 2 х2х3 + 2 х2х4 + 2 х3х4.
Решение. Матрица данной квадратичной формы
А = | Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы l1 = l2 = l3 = 1, l4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден е11 = е21 = , |
А1 = | е31 = , е41 = (1, –1, –1, 1). В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису е1 будет матрица Т. |
Т = | Следовательно, форма j будет иметь следующий канонический вид j = х12 + х22 + х32 – 3 х42. |
Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j (а) = . Если n = 1, то форма уже имеет канонический вид, поэтому рассуждение можно вести индукцией по числу переменных. Пусть форму можно привести к каноническому виду, если число переменных не более (n – 1). Докажем его для n переменных. Возможны два случая.
1) Все коэффициенты aкк = 0. Если все коэффициенты равны 0, то можно считать, что форма имеет канонический вид. Поэтому пусть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что a12 ¹ 0. Сделаем преобразование координат: х1 = у1 – у2, х2 = у1 + у2, х3 = у3, …, хn = уn. В новых координатах
j (а) = a12у12 – a12у22 + y, где y не будет содержать у12 и у22, поэтому эти слагаемые ни с чем проведены быть не могут. Следовательно, достаточно рассмотреть случай
2) Хотя бы один коэффициент при квадратах переменных отличен от нуля. Пусть a11¹ 0. Соберём в форме j (а) все слагаемые, содержащие х1, вынесем a11 за скобки, дополним полученную скобку до полного квадрата и компенсируем сделанные добавки.
a11 ×() +
+ y (х2, х3, …,хn), где y (х2, х3, …,хn) – квадратичная форма от (n – 1) переменной. По предположению индукции форму y (х2, х3, …,хn) можно с помощью преобразования координат (х2, х3, …,хn) привести к каноническому виду. Дополнив это преобразование формулой у1 = , получим, что j (а) = .
Рассмотрим этот способ упрощения квадратичной формы на примере.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
1) j = 3 х12 + 5 х22 + х32 – 6 х1х2 + 9 х1х3 – 7 х2х3.
Решение. Коэффициент при х12 отличен от нуля, поэтому соберём слагаемые, содержащие х1 (они подчёркнуты), вынесем за скобки коэффициент при х12 (т.е. 3) и дополним выражение в скобках до полного квадрата (за скобками компенсируем то, что добавили в скобках), получим
j = 3×(х12 – 2 х1х2 + 3 х1х3 + х22 + х32 – 3 х2х3) – 3 х22 – х32 + 9 х2х3 + 5 х22 + х32 – 7 х2х3 =
= 3(х1 – х2 + х3)2 + 2 х22 – х32 + 2 х2х3. Так как коэффициент при х22 отличен от нуля, то соберём слагаемые, содержащие х2, вынесем коэффициент при х22 за скобку и дополним выражение в скобках до полного квадрата. Получим
j = 3(х1 – х2 + х3)2 +2(х22 + х2х3 + х32) – х32 – х32 =3(х1 – х2 + х3)2 + 2(х2 + х3)2 – х32. Сделаем преобразование координат:
у1 = х1 – х2 + х3, у2 = х2 + х3, у3 = х3. В новых координатах получим, что
j = 3 у12 + 2 у22 – у32.
Если квадратичная форма задана над полем действительных чисел, то сделав ещё одно преобразование координат: z1 = у1, z2 = у2, z3 = у3, получим нормальный вид данной формы j = z12 + z22 – z32.
2) j = х1х3 + 2 х2х3 + 4 х3х4.
Решение. Так как данная квадратичная форма не содержит квадратов переменных, то сначала сделаем преобразование координат по формулам: х1 = у1 – у3, х2 = у2, х3 = у1 + у3, х4= у4. Получим j = (у1 – у3)(у1 + у3) + 2 у2 (у1 – у3) + 4(у1 + у3) у4 = у12 – у32 + 2у1у2 + 4у1у4 –2 у2у3 + 4 у3у4. Соберём слагаемые с у1 (коэффициент при у12 равен 1, поэтому ничего за скобки выносить не надо). Получим j = (у12 + 2у1у2 + 4у1у4 + у22 +4 у42+ 4 у2у4) – у22 – 4 у42 – 4 у2у4 – у32 – 2 у2у3 + 4 у3у4 = = (у1 + у2 + 2 у4)2 – (у22 + 2 у2у3 + 4 у2у4 + у32 + 4 у42 + 4 у3у4) + у32 + 4 у42 + 4 у3у4 – 4 у42 – у32 + 4 у3у4 = = (у1 + у2 + 2 у4)2 – (у2 + у3 + 2 у4)2 + 4 у3у4. Для преобразования последнего слагаемого снова нужно положить у3 = z3 – z4, у4 = z3 + z4. Отсюда z3 = , z4 = .Итак, сделаем преобразование координат по формулам:
z1 = у1 + у2 + 2 у4, z2 = у2 + у3 + 2 у4, z3 = , z4 = . В новых координатах
j = z12 – z22 + 4 z32 – 4 z42.
Получили канонический вид данной квадратичной формы над полем действительных чисел.