Метод контурных токов
Метод контурных токов базируется науравнениях второго закона Кирхгофа и приводит к необходимости решения 
уравнений, 
- число всех ветвей, в том числе и содержащих идеальные источники тока.
В цепи выбираются 
независимых контуров и для каждого 
-го из них вводится кольцевой (замкнутый) контурный ток 
(двойная индексация позволяет отличать контурные токи от токов ветвей).
Через контурные токи можно выразить все токи ветвей и для каждого независимого контура записать уравнения второго закона Кирхгофа.
Система уравнений содержит 
уравнений, из которых определяются все контурные токи. По найденным контурным токам находятся токи или напряжения ветвей (элементов).
Рассмотрим пример цепи на рис.1.1.
Рис. 1.1
На рис.1.1 приведена схема с указанием обозначений и положительных направлений двух контурных токов 
и 
(
, 
, 
).
Через ветвь 
протекает только контурный ток и его направление совпадает с 
, поэтому ток ветви 
равен
. (1.1)
В ветви 
протекают два контурных тока, ток 
совпадает по направлению с 
, а ток 
имеет противоположное направление, следовательно
. (1.2)
Для контуров, не содержащих идеальные источники тока, составляем уравнения второго закона Кирхгофа с использованием закона Ома, в данном примере записывается одно уравнение
. (1.3)
Если в контур включен идеальный источник тока, то для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а его контурный ток равен току источника с учетом их положительных направлений, в рассматриваемом случае
. (1.4)
Тогда система уравнений принимает вид
. (1.5)
В результате подстановки 2-го уравнения в 1-е получим
, (1.6)
тогда ток равен
А, (1.7)
а ток
А.
Из (1.1) 
, а из (1.2) соответственно 
.
При необходимости по найденным значениям токов ветвей по закону Ома можно вычислить напряжения на элементах цепи.
Рассмотрим более сложный пример цепи, схема которой с заданными контурными токами показана на рис.1.2.
Рис. 1.2
В этом случае число ветвей 
, количество узлов 
, тогда число независимых контуров и уравнений по методу контурных токов равно 
.
Для токов ветвей можно записать
(1.8)
Первые три контура не содержат идеальных источников тока, тогда с учетом (1.8) и использованием закона Ома для них можно записать уравнения второго закона Кирхгофа
(1.9)
В четвертом контуре присутствует идеальный источник тока, поэтому для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а контурный ток равен току источника (они совпадают по направлению)
. (1.10)
Подставляя (1.10) в систему (1.9), после преобразования получим три уравнения для контурных токов в виде
(1.11)
Систему уравнений (1.11) можно решить аналитически (например, методом подстановки), получив формулы для контурных токов, а затем из (1.8) определить токи ветвей.
Для численных расчетов удобно использовать пакет программ MathCAD, пример программы показан на рис.1.3.
Рис. 1.3
Результаты вычислений совпадают с расчетами, приведенными на рис.1.3.
Как видно, метод контурных токов требует составления и решения меньшего числа уравнений по сравнению с общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.
Метод узловых напряжений
Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа, при этом число уравнений равно 
.
В цепи выделяются все 
узлов и один из них выбирается в качестве базисного, которому присваивается нулевой потенциал. Потенциалы (напряжения) 
… 
остальных узлов отсчитываются от базисного, их положительные направления обычно выбираются стрелкой в базисный узел.
Через узловые напряжения с использованием закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей и для узлов записываются уравнения первого закона Кирхгофа.
Рассмотрим пример цепи, показанной на рис.1.1, для метода узловых напряжений ее схема показана на рис.2.1.
Рис. 2.1
Нижний узел обозначен как базисный (для этого используется символ «земля» - точка нулевого потенциала), напряжение верхнего узла относительно базисного обозначено как 
.
Выразим через него токи ветвей
(2.1)
По первому закону Кирхгофа с учетом (2.1) запишем единственное уравнение метода узловых напряжений (
),
. (2.2)
Решая уравнение, получим
, (2.3)
а из (2.1) определим токи ветвей
(2.4)
Полученные результаты совпадают с полученными рассмотренными ранее методами.
Рассмотрим более сложный пример цепи, показанной на рис.2.2, при следующих исходных данных:
Рис. 2.2
В цепи 
узла, нижний выбран базисным, а три остальные обозначены номерами в кружках. Введены положительные направления и обозначения узловых напряжений , 
и 
.
По Закону Ома с использованием второго закона Кирхгофа определим токи ветвей,
(2.5)
По первому закону Кирхгофа для узлов с номерами 1, 2 и 3 необходимо составить три уравнения
(2.6)
Подставляя (2.5) в (2.6), получим систему уравнений метода узловых напряжений,
(2.7)
После преобразования и приведения подобных получим
(2.8)
Программа расчета узловых напряжений и токов ветвей приведена на рис.2.3.
Рис. 2.3
Как видно, полученные результаты совпадают с полученными ранее другими методами расчета.
Метод наложения
Метод наложения заключается в следующем.
1. Реакция цепи (ток или напряжение) на воздействие нескольких источников равна сумме реакций на действие каждого из них в отдельности, при этом остальные источники должны быть выключены
2. Выключение идеальных источниковозначает замену:
идеального источника напряжения коротким замыканием, так как его внутреннее сопротивление равно нулю;
идеального источника тока холостым ходом (разрывом цепи) так как его внутреннее сопротивление стремится к бесконечности.
Расчет проводится следующим образом.
В цепи, содержащей несколько источников, поочередно выбирается каждый из них, а остальные отключаются. При этом образуются цепи с одним источником, число которых равно количеству источников в исходной цепи. В каждой из них проводится расчет искомого сигнала, а результирующий сигнал определяется их суммой.
В качестве примера рассмотрим расчет тока 
в цепи, показанной на рис.3.1.
Рис. 3.1
При выключении идеального источника тока (его цепь разрывается) получается цепь, показанная на рис.3.1,б, в которой любым из рассмотренных методов определяется ток 
.
Затем выключается идеальный источник напряжения (он заменяется коротким замыканием) и получается цепь, показанная на рис.3.1,в, в которой находится ток 
.
Искомый ток равен
.