Магнитная индукция – - векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля (его действия на заряженные частицы) в данной точке пространства. Определяет, с какой силой магнитное поле действует на заряд q, движущийся со скоростью .
Для стационарных токов выполняется закон Био-Савара-Лапласа:
Пусть постоянный ток течёт по контуру γ (проводнику), находящемуся в вакууме, — точка, в которой ищется (наблюдается) поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом:
где квадратными скобками обозначено векторное произведение, - положение точек контура, - вектор элемента контура, вдоль которого идет проводник (ток течет вдоль него); - константа (магнитная постоянная);
№48. Чему равны индукция магнитного поля прямого бесконечного провода с током?
№49. Линии магнитной индукции и их свойства.
Линии магнитной индукции – линии, касательные к которым в данной точке совпадают по направлению с вектором магнитной индукции в этой точке. Направление линий связано с направлением тока в проводнике и определяется по правилу буравчика. Линии непрерывны, замкнуты (т.е. магнитное поле является вихревым), не пересекаются; по их густоте судят о величине магнитной индукции.
№50. Теорема о циркуляции магнитной индукции (закон полного тока)
1) Интегральная форма: = μμ0 – «в произвольной намагниченной среде циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому замкнутому контуру Lпропорциональна алгебраической сумме токов , которые охватываются этим контуром»
2) Дифф. форма: rot = μμ0 – ( – плотность тока проводимости в рассматриваемой точке пространства)
№51. Сформулируйте теорему Гаусса для магнитного поля в интегральной и
Дифференциальной формах.
Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:
или в дифференциальной форме:
№52. Что такое векторный потенциал. Как он связан с магнитной индукцией. Условие нормировки.
Векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю.
Векторный потенциал электромагнитного поля (вектор-потенциал, магнитный потенциал) —векторный потенциал, роторкоторого равен магнитной индукции:
Калибровка векторного потенциала — наложение дополнительных условий, позволяющих однозначно вычислить векторный потенциал электромагнитного поля для решения тех или иных физических задач.
Кулоновская калибровка
Кулоновская калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде
Эта калибровка применяется для рассмотрения нерелятивистских магнитостатических задач.
Симметричная калибровка
Симметричная калибровка — выбор векторного потенциала магнитного поля в виде , где — вектор магнитного поля, а — радиус-вектор.
№53. Чему равна индукция магнитного поля плоского витка с током.
Индукция магнитного поля в точке, расположенной на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра, равна
где I – сила тока, текущего в кольце, R – радиус кольца, z – расстояние от точки, до плоскости кольца, а – единичныйвектор нормали к плоскости кольца.
№54. Чему равны сила и момент сил, действующие на элементарный ток в магнитном поле
Элементарный электрический ток - электрический ток в замкнутом элементарном контуре, размеры которого весьма малы по сравнению с расстояниями до точек наблюдения.
Сила, действующая на элементарный ток (замкнутый контур с током):
Здесь сила тока и магнитная индукция для всех элементов контура одинаковы, поэтому их можно вынести из-под знака интеграла. Интегрирование всех векторов , составляющих контур, дает вектор перемещения вдоль тока, который для замкнутого контура равен нулю, т. е. . Поэтому полная сила, действующая на замкнутый контур с током в однородном поле, тоже равна нулю.
Момент сил, действующий на элементарный ток (замкнутый контур с током):
Где (где –площадь контура, – единичный вектор нормали к плоскости контура; это случай плоского контура) - вектор магнитного момента, - вектор магнитной индукции
– общий случай.
№55. Сила Лоренца и характер движения заряда в постоянных электрическом и магнитном полях.
Если частица с зарядом q движется со скоростью в магнитном поле , то на эту частицу действует сила Лоренца.
Так как сила Лоренца в каждый момент времени перпендикулярна скорости частицы, то она не влияет на модуль скорости, но меняет ее направление. Как следствие частица движется по спирали.
Если частица с зарядом q влетает на скорости (с начальной скоростью) в однородное электрическое поле между пластинами плоского конденсатора,то на нее будет действовать постоянная сила = q , направленная вниз или вверх, тогда получаем ситуацию, идентичную полету тела, брошенного под углом к горизонту, соответственно частица будет двигаться по параболе.
№56. Сформулируйте закон электромагнитной индукции Фарадея и правило Ленца.
Закон Фарадея
ЭДС электромагнитной индукции в контуре равна скорости изменения магнитного потока через контур, взятой с противоположным знаком
Дифференциальная формулировка:
где – индукция нестационарного магнитного поля, а –напряженность электрического поля, порождаемого этим магнитным полем.
Правило Ленца
Индукционный ток — электрический ток, возникающий в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, пронизывающего этот контур.
Направление индукционного тока и знак ЭДС определяются правилом Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению магнитного потока, которым он вызван.
№57. В чем заключается явление самоиндукции.
Самоиндукция – явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре, при изменении протекающего через контур тока. При изменении тока в контуре пропорционально меняется магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром. Изменение магнитного потока, в силу закона электромагнитной индукции, приводит к возбуждению индуктивной ЭДС.
№58. Что характеризует коэффициент самоиндукции (индуктивность)
Коэффициент самоиндукции (индуктивность) замкнутого контура – коэффициент пропорциональности между силой тока в этом контуре и магнитным потоком через этот контур, создаваемым этим током: .
Индуктивность - это мера связи между током в проводнике и порождённым им магнитным полем.
№59. Чему равны собственная энергия проводника с током и энергия системы замкнутых токов.
Энергия проводника с током индуктивностью :
Энергия системы двух замкнутых проводников с токами и :
где – коэффициент взаимной индукции замкнутых проводников.
№60.Запишите формулы для энергии магнитного поля и ее объемной плотности.
Объемная плотность энергии магнитного поля в каждой точке пространства равна:
где – магнитная индукция, а – напряженность магнитного поля в этой точке.
Полная энергия магнитного поля равна:
где интегрирование распространяется на весь объем , занятый магнитным полем.
№61. Молекулярные токи и вектор намагниченности.
Тело, помещённое в магнитное поле, намагничивается и создаёт собственное магнитное поле, которое накладывается на внешнее по принципу суперпозиции. Согласно гипотезе Ампера, частицы, из которых состоит тело, можно рассматривать как маленькие контуры, обтекаемые так называемыми молекулярными токами, связанными с орбитальным движением электронов. С такой точки зрения возникновение дополнительного магнитного поля можно объяснить ориентацией этих контуров во внешнем магнитном поле. Для макроскопического описания магнитного поля в веществе вводится усреднённая по объёму веществ его характеристика – вектор намагниченности
где – магнитный момент всех молекулярных токов, оказавшихся внутри бесконечно малого объёма .
№62. Дайте определение вектора напряженности магнитной магнитного поля
Напряженность магнитного поля – векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции и вектора намагниченности
№63. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля (в интегральной и дифференциальной формах).
В произвольной намагниченной среде циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов , которые охватываются этим контуром:
В дифференциальной форме:
где – плотность тока проводимости в рассматриваемой точке пространства.
№64. Запишите материальные уравнения для магнитного поля. Что характеризуют магнитные восприимчивость и проницаемость вещества.
Магнитная восприимчивость () — физическая величина, характеризующая связь между магнитным моментом (намагниченностью) вещества и магнитным полем в этом веществе. (диамагнетики <0, парамагнетики >0, ферромагнетики >>)
Магнитная проницаемость ()есть величина, характеризующая магнитные свойства вещества, она зависит от рода вещества и его состояния (например, от температуры).
№65. Граничные условия для векторов напряженности и индукции магнитного поля.
где n – нормальная составляющая, - тангенциальная составляющая, – линейная плотность поверхностного тока проводимости, - проекция на нормаль к контуру.
№66. Что такое ток смещения
Сущность процесса. Постоянный ток не протекает в цепи с конденсатором, а переменный ток протекает. Сила квазистационарного тока проводимости во всех последовательно соединенных элементах цепи является одной и той же. В конденсаторе ток проводимости, связанный с движением электронов, не может существовать, так как обкладки конденсатора разделены диэлектриком⇒ необходимо заключить, что в конденсаторе происходит некоторый процесс, который как бы замыкает ток проводимости, то есть в некотором смысле обеспечивает обмен зарядом между обкладками конденсатора без переноса заряда между ними. Этот процесс называется током смещения.
· плотность тока смещения: - j и D векторы;
· ток смещения порождает магнитное поле так же, как его порождает ток проводимости
№66. Запишите уравнения Максвелла в дифференциальной форме
где и – напряженность, соответственно, магнитного и электрического поля, и – соответственно, электрическая и магнитная индукция, – плотность тока проводимости, а –объемная плотность свободного заряда.
№67. Запишите уравнения Максвелла в интегральной форме.
Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .
Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
№68.Сколько решений имеет система уравнений Максвелла. Ответ обоснуйте.
Уравнения Максвелла (4 штуки) образуют не замкнутую систему, поэтому у нее бесконечно много решений. Чтобы система уравнений Максвелла образовывала замкнутую систему, надо дополнить ее материальными уравнениями. Тогда с помощью материальных уравнений можно исключить из полевых уравнений неизвестные величины , , , в результате чего они становятся уравнениями относительно векторов и , т. е. относительно шести неизвестных независимых величин. С другой стороны число скалярных уравнений равно 8, но в действительности система не переполнена, так как уравнения и ; и имеют одинаковые дифференциальные следствия и потому связаны между собой.
№69. Дайте определение и запишите выражение для вектора Умова-Пойнтинга.
Плотность потока энергии электромагнитной волны, т.е. энергия, переносимая волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, характеризуется вектором Пойтинга (Умова-Пойтинга):
где w – объёмная плотность энергии, переносимая электромагнитной волной, c – скорость распространения электромагнитных излучений в среде, – единичный вектор, задающий направление распространения волны.
Вектор Пойнтинга (также вектор Умова-Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля.
Теорема Умова-Пойнтинга выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле:
где
– энергия электромагнитного поля в объеме , ограниченном замкнутой поверхностью , –тепловая мощность, выделяемая в объеме V.
№70. Получите волновое уравнение из системы уравнений Максвелла
Найдем ротор от левой и правой части уравнения
Выражение в левой части представляет собой смешанное произведение векторов . По правилам векторного анализа его можно расписать так:
Перемножая скалярно и учитывая, что
получаем
Таким образом:
Находим ротор от правой части уравнения :
Изменим порядок дифференцирования:
Получаем, что
Учитывая, что
где - фазовая скорость волны в вакууме, а - фазовая скорость волны в исследуемом однородном изотропном диэлектрике, получаем волновое уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:
1
Находя ротор от левой и правой части уравнения и проводя аналогичные преобразования, получаем волновое уравнение для вектора напряженности магнитного поля волны:
№71. Что такое плоская волна.
Электромагнитная волна называется плоской, есливектор волны имеет одну и ту же величину во всех точках любойплоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.
Волновой вектор — вектор, направленный в сторону распространения волны, аего абсолютное значение равно волновому числу.
Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны:
№72. Нарисуйте взаимную ориентацию полевых векторов и волнового вектора в плоской волне. Поляризации электромагнитной волны.
Волновой вектор – вектор, направленный в сторону распространения волны(вектор ), и – полевые векторы, образуют правую тройку векторов.
Поляризации
Поляризация - для электромагнитных волн это явление направленного колебания векторов напряженности электрического поля или напряженности магнитного поля . Когерентное электромагнитное излучение (излучение с одной длинной волны) может иметь:
- Линейную поляризацию - в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны;
- Круговую поляризацию - правую либо левую, в зависимости от направления вращения вектора индукции;
- Эллиптическую поляризацию - случай, промежуточный между круговой и линейными поляризациями.
№73. Чему равны плотность потока энергии и плотность потока импульса электромагнитной волны.
Плотностью потока энергии называют электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярной к направлению распространения волны. Для электромагнитной волны плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга .
Часто вводят плотность потока импульса электромагнитной волны как произведение плотностиимпульса на скорость распространения:
– плотность импульса электромагнитного поля.
Таким образом, плотность потока импульса электромагнитной волны равна плотности потока энергии, деленной на скорость света.
№74. Приведите примеры интерференции электромагнитных волн
Опыт Юнга
S — точечный источник света
Интерференции появляются на экране, когда ширина прорезей близка к длине волны излучаемого монохроматического света. Когда ширина прорезей увеличивается, освещенность экрана уменьшается и интерференции исчезают.
Явление интерференции наблюдается в тонком слое несмешивающихся жидкостей (керосина или масла на поверхности воды), в мыльных пузырях, бензине.
№75. Излучение электромагнитных волн диполем. Зависимость излучаемой мощности от частоты.(?)
Волна, создаваемая колеблющимся диполем , имеет вид:
где ; — единичный радиальный вектор, .
Вектор лежит в плоскости, образованной диполем и радиус-вектором r,
вектор перпендикулярен к ней. Излучение не обладает сферической симметрией:
максимально в направлении, перпендикулярном к , и равно нулю вдоль направления .
Расчет полной мощности , излучаемой диполем, дает формулу:
Пусть дипольный момент изменяется с частотой по практически гармоническому закону (затухание мало):
где - характерное время затухания. Уменьшение энергии диполя происходит за счет излучения электромагнитной волны, амплитуда волны изменяется по тому же закону, что и дипольный момент.
Тогда излучаемая мощность изменяется по закону:
№76. Дайте определение квазистационарных электромагнитных процессов.
Квазистационарный процесс - процесс, протекающий в ограниченной системе и распространяющийся в ней так быстро, что за время распространения этого процесса в пределах системы её состояние не успевает измениться.
К квазистационарным процессам относятся все электромагнитные процессы, в которых можно пренебречь токами смещения.
№77. Приведите примеры расчёта тока в электрических цепях при переходных процессах (RC- и RL-цепи).
В момент t = 0 ключ замыкается. Найти .
№78. Собственные колебания в колебательном контуре
Свободные (или собственные) колебания — это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия.
Общая формула:
Уравнение свободных (собственных) электромагнитных колебаний в колебательном контуре(цепь с конденсатором и катушкой индуктивности):
Свободные колебания – гармонические. Решение:
,
№79. Вынужденные колебания в колебательном контуре под действием гармонической силы. Формулы для амплитуды и фазы.
Вынужденные колебания в колебательном контуре под действием гармонической силы происходят по закону
где – начальная частота колебаний, ω- частота колебаний внешней возбуждающей силы, γ – коэффициент затухания. (В случае колебательного контура с R, C,Lи ЭДС, изменяющейся по гармоническому закону, получаем, что: , , ).
Формула для амплитуды и фазы соответственно:
№80. Опишите и обоснуйте метод комплексных амплитуд (описание, обоснование, пример).