Неопределённый интеграл
Интегрирование является обратной операцией по отношению к дифференцированию, так же как деление является обратной операцией по отношению к умножению, логарифмирование - обратной операцией по отношению к потенцированию и т.д.
Определение
Пусть в некоторой области определены две функции f (x) и F (x). Если выполнено равенство
F' (x) = f (x),
то f (x) называется производной от функции F (x), a F (x) - первообразной относительно функции f (x)
Пример 1. Найти первообразную F (x) функции f (x) = 2x и построить графики
Решение. Из таблицы производных находим, что F (x)= x2. Действительно, (x2)’= 2x. Ниже на рисунке 1 представлены требуемые графики
Рис. 1
Ясно, что такая первообразная не единственна. Например, функция x2+5 также является первообразной относительно функции 2x. Более того, всякая функция вида
F (x) = x2 + С является первообразной относительно 2x, т.к. (х2 + С) ' = 2х
Итак, справедливо утверждение:
Любая функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную
Определение:
Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество первообразных:
∫ f (x) dx = F (x) + С
где F' (x) = f (x), С = const, х - переменная интегрирования, f (x) - подинтегральная функция, f (x) dx – подинтегральное выражение
Свойства неопределенного интеграла
1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению
Действительно, по определению
что и требовалось доказать
2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной
В самом деле,
3. Постоянная выносится из под знака интеграла
Действительно, используя свойство 2, получаем
4. Интеграл суммы равен сумме интегралов с точностью до произвольной постоянной
В самом деле,
Для нахождения интегралов сложных функций удобно пользоваться заранее составленной таблицей наиболее употребительных в той или иной сфере научной деятельности интегралов простейших функций. Тогда поиск первообразной сводится к сведению заданного интеграла к одному или нескольким табличным интегралам
Таблица производных и интегралов
№ | F’ (x) = f (x) | |
= = | ||
= = | ||
Простейшие методы неопределенного интегрирования
· Метод замены переменной
· Метод интегрирования по частям
Замена переменной под знаком интеграла проводится по формуле
(1)
Это следует из того, что
Применение формулы (1) слева направо называют подстановкой, а справа налево – подведением под дифференциал
Интегрирование по частям проводится по формуле
(2)
Эта формула вытекает из того, что . Проинтегрируем обе части этого равенства: . Требуемая формула получается с учетом свойства 2.
Пример 2. Найти интеграл
Решение. Сделаем подстановку t=6x-5, dt=6dx. Получаем
Проверка:
Ответ:
Пример 3. Найти интеграл
Решение. Заведем сначала функцию 1/x, а потом функцию 1/lnx под знак дифференциала
Ответ:
Пример 4. Найти интеграл
Решение. Подведем cosx под знак дифференциала: cosx dx=dsinx. Отсюда получаем
Ответ:
Пример 5. Найти интеграл
Решение. Данный интеграл удобнее находить интегрированием по частям. Для этого примем, что u=x, dv=cosxdx. Далее по формуле (2)
Ответ: