1. Дано: =3, =8. Найти векторное произведение , если угол φ между векторами равен:
1) 0; 2) 30о; 3) 90о; 4) 120о; 5) 150о.
2. Упростить выражения:
1) ; 2) | 1) ; 2) |
3. Найти векторное произведение для следующих пар векторов:
1) ; 2) ; | 3) ; 2) . |
4. Найти вектор , если
1) = 2 ; =3 ; 2) = + ; = − 2 ; | 1) =3 + ; = +4 ; 2) = – + + ; = +2 . |
Вычислить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах .
5. Вычислить площадь треугольника с вершинами:
1) А (2; 2; 2); В (1; 3; 3); С (3; 4; 2);
2) А (– 3; – 2; – 4); В (– 1; – 4; – 7); С (1; – 2; 2);
6. Найти орт , перпендикулярный векторам:
1) ; 2) ;
7. Дан треугольник с вершинами А (9; – 9; 13); В (7; – 13; 17); С (17; – 3; 17). Найти длину высоты, проведенной из вершины С.
8. Дано: =5, =2, =6. Найти .
9. Дано: =10, =2, =16. Найти .
Смешанное произведение векторов.
1. Найти смешанное произведение векторов , если:
1) =(1; 1; 2); =(1; –2; 3); =(2; 1; 1); 2) =(5;– 2; –1); =(1; –2; 1); =(1; 2; – 2); | 3) =(1; 1; 4); =(2; –1; – 1); =(1; 3; –1). |
2. Доказать, что векторы компланарны, если:
1) =(1; 1; 3); =(0; 2; – 1); =(1; – 1; 4); 2) =(1; 2; 2); =(2; 5; 7); =(1; 1; –1); | 3) =(1; – 1; 2); =(3; 5; 0); =(5; 3; 4). |
3. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
1) А (–1; 1; 0); В (2; – 2; 1); С (3; 1; –1); D (1; 0; –2);
2) А (–4; – 4; – 3); В (– 2; –1; 1); С (2; – 2; –1); D (– 1; 3; –2)
4. Показать, что точки А (3; 5; – 4); В (1; –1; – 3); С (7; 2; –6); D (– 1; 3; –2)
принадлежат одной плоскости.
5. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах =(3; 2; 1); =(1; 0; – 1); =(1; –2; 1);
Линейные пространства.
1. Выяснить, являются ли векторы а 1, а 2, а 3 линейно зависимыми:
1) а 1= (2; −1; 3), а 2 = (1; 4; −1), а 3= (0; −9; 5);
2) а 1= (1; 2; 0), а 2 = (3; −1; 1), а 3= (0; 1; 1).
2. Показать, что векторы а 1= (8; 5; 9; 1), а 2 = (1; −3; –6; –3), а 3= (3; –1; 5; 2), а 4= (0; 2; –1; 4), заданные в базисе е 1, е 2, е 3, сами образуют базис.
3. Даны векторы а = е 1 + е 2 + е 3, b =2 е 2 + 3 е 3, c = е 2 + 5 е 3, где е 1, е 2, е 3 базис линейного пространства. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d = 2 е 1 − е 2 + е 3 в базисе a, b, c.
4. Даны векторы а 1, а 2, а 3, b. Показать, что векторы а 1, а 2, а 3 образуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:
1) а 1= (4; 3; 2), а 2 = (−3; 2; −1), а 3 = (2; 3; 1), b =(16; 8; 7);
2) а 1= (−1; 2; 0), а 2 = (2; 4; 2), а 3 = (−3; −1; 3), b =(−8; 0; 4).
5. Даны векторы а 1, а 2, а 3, а 4, b. Показать, что векторы а 1, а 2, а 3, а 4 образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:
1) а 1=(–1; 2; 3; 1), а 2=(–1; 3;−2; –1), а 3=(3; 5; 4; 1), а 4=(3;1;4;–1), b =(0; 3; 5; 4);
2) а 1=(1; 2; 1; 3), а 2 =(1;–1;–1;–1), а 3=(–1; 3; 0;1), а 4 =(1;– 2; 2;–1), b =(4; 1; 6; 0).
Индивидуальное задание №2 по теме: « Элементы векторной алгебры »
Задание №1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:
1. Записать векторы , , в системе орт , , и найти модули этих векторов;
2. Найти угол между векторами и ;
3. Найти проекцию вектора на вектор ;
4. Найти площадь грани АВС;
5. Найти объем пирамиды АВСD.
1) А(1; 2; 1), В(– 1; 5; 1), С(– 1; 2; 7), D (1; 5; 9).
2) А(2; 3; 2), В(0; 6; 2), С(0; 3; 8), D (2; 6; 10).
3) А(0; 3; 2), В(–2; 6; 2), С(– 2; 3; 8), D (0; 6; 10).
4) А(2; 1; 2), В(0; 4; 2), С(0; 1; 8), D (2; 4; 10).
5) А(2; 3; 0), В(0; 6; 0), С(0; 3; 6), D (2; 6; 8).
6) А(2; 2; 1), В(0; 5; 1), С(0; 2; 7), D (2; 5; 9).
7) А(1; 3; 1), В(– 1; 6; 1), С(– 1; 3; 7), D (1; 6; 9).
8) А(1; 2; 2), В(– 1; 5; 2), С(– 1; 2; 8), D (1; 5; 10).
9) А(2; 3; 1), В(0; 6; 1), С(0; 3; 7), D (2; 6; 9).
10) А(2; 2; 2), В(0; 5; 2), С(0; 2; 8), D (2; 5; 10).
11) А(1; 3; 2), В(– 1; 6; 2), С(– 1; 3; 8), D (1; 6; 10).
12) А(0; 1; 2), В(– 2; 4; 2), С(– 2; 1; 8), D (0; 4; 10).
13) А(0; 3; 0), В(– 2; 6; 0), С(– 2; 3; 6), D (0; 6; 8).
14) А(2; 1; 0), В(0; 4; 0), С(0; 1; 6), D (2; 4; 8).
15) А(0; 2; 1), В(– 2; 5; 1), С(– 2; 2; 7), D (0; 5; 9).
16) А(1; 1; 1), В(– 1; 4; 1), С(– 1; 1; 7), D (1; 4; 9).
17) А(1; 2; 0), В(– 1; 5; 0), С(– 1; 2; 6), D (1; 5; 8).
18) А(0; 1; 0), В(– 2; 4; 0), С(– 2; 1; 6), D (0; 4; 8).
19) А(0; 1; 1), В(– 2; 4; 1), С(– 2; 1; 7), D (1; 4; 9).
20) А(0; 2; 0), В(– 2; 5; 0), С(– 2; 2; 6), D (0; 5; 8).
21) А(4; 2; 5), В(0; 7; 2), С(0; 2; 7), D (1; 5; 0).
22) А(4; 4; 10), В(4; 10; 2), С(2; 8; 4), D (9; 6; 4).
23) А(4; 6; 5), В(6; 9; 4), С(2; 10; 10), D (7; 5; 9).
24) А(3; 5; 4), В(8; 7; 4), С(5; 10; 4), D (4; 7; 8).
25) А(10; 6; 6), В(– 2; 8; 2), С(6; 8; 9), D (7; 10; 3).
26) А(1; 8; 2), В(5; 2; 6), С(5; 7; 4), D (4; 10; 9).
27) А(6; 6; 5), В(4; 9; 5), С(4; 6; 11), D (6; 9; 3).
28) А(7; 2; 2), В(5; 7; 7), С(5; 3; 1), D (2; 3; 7).
29) А(8; 6; 4), В(10; 5; 5), С(5; 6; 8), D (8; 10; 7).
30) А(7; 7; 3), В(6; 5; 8), С(3; 5; 8), D (8; 4; 1).
Задание №2 Даны векторы , , , . Показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
1) =(2;1;3), =(3; −2;1), =(1; −3; −4), =(7;0;7).
2) =(5;3;1), =(−2; −1;2), =(−2;1; 4), =(3;0;1).
3) =(1;3;5), =(−2;−1;−1), =(4; −2;4), =(−7;3;−1).
4) =(3;1;6), =(−2; 2;−3), =(−4; 5; −1), =(3;0;1).
5) =(4;1;4), =(−2; −1;1), =(3;1; 5), =(− 3;−2;1).
6) =(1;2;5), =(2; −3;4), =(1; −1; −2), =(3;0;1).
7) =(5;1;2), =(3; 4;−1), =(−4; 2; 1), =(−3;5;4).
8) =(2;1;5), =(−4; 3;5), =(1; −1; −4), =(4;−1;−3).
9) =(3;1;4), =(−4;2;3), =(2;−1;−2), =(7;−1;0).
10) =(1;4;2), =(5;−2;−3), =(−2;−1;1), =(−3;2;4).
11) =(1;3;1), =(1; 2;−1), =(−3; 2;5), =(0;−1;−2).
12) =(3;1;5), =(−2;3;−2), =(−1; 2; 4), =(−5;2;−7).
13) =(2;1;4), =(3; 1;5), =(1; −4;−3), =(1;0;1).
14) =(1;4;2), =(−4; 1;3), =(2;−3;4), =(−5;−3;1).
15) =(2;1;3), =(4; 1;−2), =(−3;2;1), =(2;0;−5).
16) =(1;2;4), =(2; −3;1), =(−3; −1; −2), =(1;−7;0).
17) =(3;1;5), =(−1; 2;3), =(4; 3; 2), =(2;7;8).
18) =(3;2;1), =(−3;1;−2), =(2;3;5), =(−4;−1;1).
19) =(4;3;2), =(−1; 2;−2), =(3;4;4), =(1;8;0).
20) =(2;1;4), =(−1;−2;3), =(3; −5; −2), =(1;−9;4).
21) =(5;1;2), =(8;2;−3), =(−1;3;2), =(−7;1;9).
22) =(1;3;2), =(2; −5;7), =(1;3;−1), =(4;1;8).
23) =(3;2;2), =(2;3;1), =(1; 1; 3), =(5;1;11).
24) =(1;5;3), =(2;1;−1), =(4;2;1), =(31;29;10).
25) =(4;2;5), =(−3;5;6), =(2;−3;−2), =(9;4;18).
26) =(2;3;3), =(−1;4;−2), =(−1;−2;4), =(4;11;11).
27) =(1;2;4), =(1;−1;1), =(2;2;4), =(−1;−4;−2).
28) =(3;−2;2), =(−1;1;−1), =(0;1;4), =(5;0;15).
29) =(3;2;1), =(−1;−5;1), =(1;−3;−1), =(4;−17;0).
30) =(1;2;3), =(1;−1;−2), =(1;−6;0), =(−1;8;3).
§11. Линейные преобразования, §12. Квадратичные формы.
1. В пространстве R2 линейное преобразование задано матрицей в базисе , .
Найти образ вектора = 4 – 3 .
2. В пространстве R2 линейное преобразование задано матрицей в базисе , .
Найти образ вектора = 3 +5 .
3. В пространстве R3 линейное преобразование задано матрицей в базисе , , .
Найти образ вектора = 2 +4 – .
4. В пространстве R3 линейное преобразование задано матрицей в базисе , , .
Найти образ вектора = 3 – 2 + .
5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей A =
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей A =
7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования A, матрица линейного преобразования A = .
8. Квадратичную форму записать в матричном виде:
1) ; 3)
2) ;
9. Исследовать на знакоопределенность и привести к каноническому виду квадратичные формы:
1) ; 3) ;
2) ; 4)
III. Аналитическая геометрия.