Геометрическая задача на вычисление
Углы
Треугольники
Четырехугольники
Окружности
Углы
Задание 24 № 76
1. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.
Решение.
Проведём радиус OA. Треугольник AOC — прямоугольный, ∠ A = 90°. ∠ COA = 180° − ∠ AOD = 180° − 100° = 80°; ∠ ACO = 90° − 80° = 10°.
Ответ: 10.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.
Задание 24 № 340905
2. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Решение.
Углы DCM и BAM равны как накрест лежащие, углы DMC и BMA равны как вертикальные, следовательно, треугольники DMC и BMA подобны по двум углам. Значит,
Cледовательно,
откуда
Ответ: 15.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.
Задание 24 № 311548
3.
Найдите величину угла , если — биссектриса угла , — биссектриса угла .
Решение.
Имеем: = 2 · 25° = 50°; = 180° − 50° = 130°; = 130°: 2 = 65°.
Ответ: 65°.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 1. (вар. 1) 02.10.2012г.
Задание 24 № 311649
4. На сторонах угла и на его биссектрисе отложены равные отрезки и . Величина угла равна 160°. Определите величину угла .
Решение.
Треугольники и равнобедренные и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
80°; = 360° − 4 · 80° = 40°.
Ответ: 40°.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 4.(1 вар.)
Задание 24 № 315053
5.
В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Решение.
Из треугольника найдем
— биссектриса, следовательно,
Треугольник — прямоугольный, следовательно:
Найдём угол
Ответ: 10°.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 24 № 314819
6. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны , и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠ KAC >90°.
Решение.
Рассмотрим подобные треугольники и и установим соответствие между их углами. Против большей стороны всегда лежит больший угол, в треугольнике это угол в треугольнике , в свою очередь, есть тупой угол и он является наибольшим, значит Угол заведомо не может быть равен углу так как он составляет только его часть. Следовательно угол равен углу Найдём косинус угла используя теорему косинусов:
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 24 № 333321
7. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 10, DC = 25, AC = 56.
Решение.
Углы и равны как накрест лежащие, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники и подобны по двум углам.
Значит, Следовательно,
Откуда
Ответ: 40.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2014 вариант МА90701.
Задание 24 № 339611
8. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 34.
Решение.
По определению параллелограмма — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы и равны как накрест лежащие. Поскольку треугольник — равнобедренный, откуда Аналогично, треугольник — равнобедренный и Стороны и равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно, Таким образом,
Ответ: 68.
Критерии проверки:
Ответ: 68
Задание 24 № 311698
9. Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка , если , .
Решение.
1) по двум углам:
a) как вертикальные;
б) как внутренние накрест лежащие углы при и секущей .
2) по двум углам:
а) — общий;
б) как соответственные углы при и секущей .
3) Аналогично, из подобия треугольников и находим, что
4)
Ответ: 12 см.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1 (3вар)
Задание 24 № 352582
10. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 13, DC = 65, AC = 42.
Треугольники
Задание 24 № 50
1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом известны катеты: , . Найдите медиану этого треугольника.
Решение.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половние:
Ответ: 5.
Критерии проверки:
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике.
Задание 24 № 341687
2. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 5, AC = 20.
Решение.
Поскольку BH — высота треугольника ABC, прямоугольные треугольники ABC и AHB подобны.
Следовательно, , откуда
Ответ: 10.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 29.09.2015 вариант МА90103.
Задание 24 № 311714
3. Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы, проведённой к стороне , если угол равен 47°, угол равен 133°, .
Решение.
Обозначим середину стороны за . Продлим на свою длину за точку до точки . Четырёхугольник — параллелограмм, потому что и . Значит, = 133°, поэтому четырёхугольник — вписанный. Тогда .
Ответ: 6.
Критерии проверки:
Источник: Пробные варианты. Московская область — 2013, вариант 2.
Задание 24 № 311240
4. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ∠ КСВ, если ∠ АВС = 20°.
Решение.
Углы АКС и АЕС равны, т. к. опираются на одну дугу окружности; следовательно, ∠ ВКС = ∠ ВЕА, как смежные с ними. Из четырёхугольника ВКDЕ: Из ВКС: ∠ КСВ = 180° − 125° − 20° = 35°.
Ответ: 35°.
Критерии проверки:
Задание 24 № 311968
5. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.
Решение.
Пусть A 1, B 1 и C 1 — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC 1 = AB 1 и CA 1 = CB 1 = r. Периметр треугольника ABC равен 2 AC 1 + 2 BC 1 + 2 CA 1 = 2 AB + 2 r. Полупериметр p равен AB + r.
По формуле площади треугольника находим
Ответ: 28.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90202.
Задание 24 № 154
6. В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Решение.
Найдем
Так как BD - биссектриса, то
Треугольник HBC- прямоугольный. Так как то
Таким образом, искомый угол DBH равен
Ответ:
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.
Задание 24 № 180
7. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.
Решение.
Так как высота AD, проведенная к медиане BM делит ее пополам, то треугольник ABM является равнобедренным, поэтому AB=AM=4. Так как BM- медиана, то AM=MC, таким образом, AC=2AM=8.
Ответ: AC=8.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1317.
Задание 24 № 333025
8. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение.
По теореме Пифагора второй катет равен . С одной стороны, площадь треугольника равна половине произведения катетов, а с другой стороны, она равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней. Следовательно, искомая высота равна .
Ответ: 14,4.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90601
Задание 24 № 339395
9. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 16.
Решение.
Угол — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу следовательно, дуга равна 180°, значит, хорда — диаметр окружности и
Ответ: 16.
Критерии проверки:
Задание 24 № 339400
10. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Решение.
Углы и равны как накрест лежащие, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники и подобны по двум углам.
Значит, Следовательно,
Откуда
Ответ: 15.
Критерии проверки:
Ответ: 15
Задание 24 № 339487
11. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 18, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
Решение.
Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, Углы и — смежные, следовательно, Из приведённых равенств, получаем, что Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда Используя равенство найдём
Ответ: 15.
Критерии проверки:
Задание 24 № 339656
12. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.
Решение.
Рассмотри треугольники и углы и равны как соответственные при параллельных прямых, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Найдём
Ответ: 7.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 24 № 311700
13. Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.
Решение.
Пусть в треугольнике отрезок служит медианой, при этом = 90°, = 30°. Возьмем на продолжении отрезка точку так, что . Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, = 90°. Поэтому треугольник — прямоугольный с углом , равным 30°. Следовательно, .
Ответ: 1:2.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 2(1вар)
Задание 24 № 311706
14. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.
Решение.
Пусть высота треугольника разбивает основание на отрезки и , высота пересекает высоту в точке , причем . Треугольники и подобны, поскольку они прямоугольные и первые два имеют равные углы (углы и равны как вертикальные), а вторые два имеют общий угол. Получаем пропорцию
, то есть , откуда .
Следовательно, и .
Ответ: 12.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №2(2вар)
Задание 24 № 311707
15. Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции пересекаются в точке . Найдите , если .
Решение.
— трапеция с основаниями и , то есть прямые и параллельны. Углы и — внутренние односторонние при параллельных прямых и и секущей , следовательно, = 180°.
Учитывая, что и — биссектрисы углов и то = 90°.
Треугольник — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора получаем .
Ответ: 26.
Критерии проверки:
Источник: Типовые экзаменационные варианты. А. Л. Семенова, И. В. Ященко — 2013, вариант 1.
Задание 24 № 311924
16. В треугольнике ABC угол С равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 12.
Решение.
Пусть A 1, B 1 и C 1 — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC 1 = AB 1, BC 1 = BA 1 и CA 1 = CB 1 = r. Периметр треугольника ABC равен
2 AC 1 + 2 BC 1 + 2 CA 1 = 2 AB + 2 r,
а его полупериметр p равен AB + r.
По формуле площади треугольника находим
Ответ: 28.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90201.
Задание 24 № 353409
17. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 7:10. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади треугольника ABC.
Решение.
По свойству медианы известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольников. Таким образом, . По свойству биссектрисы имеем: . Из условия задачи известно, что , следовательно,
Так как высота h является общей для треугольников и , имеем:
Ответ:
Задание 24 № 353441
18. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 11.
Четырёхугольники
Задание 24 № 311249
1. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56.
Найдите площадь трапеции.
Решение.
Трапеция равнобедренная, значит,
и
Тогда,
Ответ:
Критерии проверки:
Задание 24 № 340934
2. В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.
Решение.
Поскольку в данный параллелограмм можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны. Так как противоположные стороны также равны, получаем, что все стороны данного параллелограмма равны, а значит, этот четырехугольник является ромбом. Следовательно, его периметр равен 8 · 4 = 32.
Ответ: 32.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90204.
Задание 24 № 341285
3. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.
Решение.
Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 15.
Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:
Ответ: 9.
Критерии проверки:
Задание 24 № 341290
4. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.
Решение.
Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.
Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:
Ответ: 5.
Критерии проверки:
Задание 24 № 311566
5. Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь это прямоугольника.
Решение.
Пусть одна из сторон прямоугольника равна . Тогда другая сторона равна , а площадь . По теореме Пифагора:
Значит, искомая площадь равна 27,5.
Ответ: 27,5.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)
Задание 24 № 311671
6. Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка , если см, см.
Решение.
1) по двум углам:
а) как вертикальные;
б) как внутренние накрест лежащие углы при и секущей .
2) по двум углам:
а) — общий;
б) как соответственные при и секущей .
см.
3) Аналогично см.
4) см.
Ответ: 30 см.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1(2 вар)
Задание 24 № 311666
7. Диагонали и трапеции пересекаются в точке . Площади треугольников и равны соответственно и . Найдите площадь трапеции.
Решение.
По условию , поэтому и являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники и подобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия . Поэтому . Поскольку треугольники и имеют общую высоту, проведённую из вершины , отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. . Значит, .
Площади треугольников и равны, так как эти треугольники им