Предпосылки моделирования. Грипп передается воздушно-капельным путем и чрезвычайно контагиозен. Дальность рассеивания вируса обычно не превышает 2-3 метра. Непосредственно вокруг больного образуется зараженная зона с максимальной концентрацией мелкодисперстных аэрозольных частиц. Частицы размером 100 мкм и более (крупнодисперстная фаза) быстро оседают. При прямом контакте с источником инфекции в зараженной зоне вирусные частицы аспирируются и задерживаются на эпителии дыхательных путей восприимчивого организма. Инкубационный период болезни (E) в среднем составляет 2 суток, инфекционный (лихорадочный) период (Y) продолжается 2-4 дня, и заболевание заканчивается в течение 8-10 дней (рисунок 2).
Рисунок 2. Схема стадий-состояний развития эпидемии гриппа в городе.
P - население территории;
S - восприимчивые;
E - в инкубации;
I - инфекционные больные;
R - переболевшие гриппом;
F - умершие от осложнений,
МП - воздушно-капельный механизм передачи инфекции.
В ходе изучения эпидемий гриппа XX века была выявлена зависимость уровня заболеваемости населения гриппом от его численности. Наибольшая эпидемическая заболеваемость отмечается в городах с населением в 1 млн. человек и больше, что составляет 11.3% всех случаев гриппа на территории страны. В городах с населением от 500 тысяч до 1 млн. человек эта цифра составляет 10.9%, а с населением меньше 500 тысяч - уже 9.7%.
Математическая модель эпидемии гриппа. Модель отражает динамику развития эпидемии среди населения города при непрерывном заражении лиц за счет воздушно-капельного механизма. Соотношения этой модели представляют систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями.
1. Число восприимчивых лиц X(t) среди населения города:
с начальным условием: X(t0) =(1-α) P(t0).
2. Число лиц в инкубационном периоде гриппа:
с начальным условием:
где:
предыстория эпидемии на ее начало.
3. Число новых случаев заболевания гриппом:
4. Число лиц с различными клиническими формами гриппа:
с начальным условием:
где:
предыстория эпидемии на ее начало.
5. Число невосприимчивых лиц или лиц, переболевших гриппом Zr(t):
с начальным условием: Zr(t0) =Zr0=P(t0).
6. Число лиц, погибших от осложнений Zf(t):
с начальным условием: Zf(t0) =0.
7. Граничные условия эпидемии (процесс заражения):
Далее приводятся результаты расчетов по компьютерной модели эпидемии гриппа 1-7, которая отражает развитие эпидемической ситуации в гипотетическом городе с населением в 1 млн. человек при числе восприимчивых порядка 60% (600 тысяч человек) и с летальностью около 1% от числа больных гриппом. Из графиков на рисунке 3 следует, что эпидемия гриппа в этом городе продлится около 2.5 месяцев, при этом гриппом переболеет 534 тысяч человек. Пик эпидемии придется на 43 день и составит 36 тысяч человек. От гриппа в городе может погибнуть до 5.4 тысяч человек.