Изучить по учебной литературе вопросы:
1. Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов.
2. Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.
3. Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.
4. Способы вычисления определенного интеграла.
5. Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.
1.Основные правила интегрирования |
1. Если то где – произвольная постоянная. 2. где – постоянная. 3. |
2.Таблица основных неопределенных интегралов |
1. . 2. 3. . 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. |
3.Непосредственное интегрирование |
Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием. Пример: - + )dx = 2 dx - dx - dx + 3 = 2 - +3 arcsin x + C При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11. |
4.Метод подстановки (замена переменной интегрирования) |
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная. В первом случае формула замены переменной имеет вид: . (1) Во втором случае: . (2) В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой. Пример 1. Вычислить интеграл: Решение. Сделаем замену переменных t=x+1 и найдем дифференциал от обеих частей, тогда dt = (x+1)'dx ⇒ dt= dx Подставляя все в исходный интеграл, получим: = = +C = +C, где C - const. Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных. В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ. |
Пример 2:
(положим t = 2x+3, тогда x= t- , dx = dt)
= =- +C= =- +C
Пример 3:
dx= (положим t= x2 +25, тогда dt = 2x dx, x dx= dt) = * dt= dt= +C = +C = +C = +C
Определенный интеграл.
Если существует определенный интеграл от функции f(x), то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке .
Для интегрируемости функции на отрезке достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.
Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл
и имеет место формула
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.
Формула
называется формулой Ньютона-Лейбница.
Пример 1:
Необходимо найти определенный интеграл
Имеем:
Таким образом искомый интеграл равен 6.
Пример 2:
Вычислить интеграл:
Решение:
=(3 + 4 +5x) = +2 -
- ( +2 26- 8=18.
Примеры решения задач
1) Найти неопределенные интегралы:
Решение
При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.
б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:
в)
г) Будем использовать подстановку:
д) Воспользуемся подстановкой:
2) Вычислить определенные интегралы:
Решение
При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница
. Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х2 + 4х и 2х – у – 2 =0
Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий: 1 – х2 + 4х = 2х – 2; получим уравнение: х2 – 2х – 3 = 0.
Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем
значения функций и составим их таблицы:
х | -1 | х | -1 | ||||||
у1 | -4 | у2 | -4 |
Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла