1.136. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.
1.137. Из полной колоды в 52 карты наудачу извлекается одна карта. События: А = {вынутая карта — туз}, В = {вынутая карта черной масти}, F = {вынутая карта является фигурой (т. е. валетом, дамой, королем или тузом)}.
а) Установить, зависимы или независимы следующие пары событий: А и В, А и F, F и В; б) вычислить вероятности событий BF, AF и ABF, используя формулу умножения вероятностей.
Вероятности сложных событий.
В следующих задачах приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность pk k-ro элемента (соответственно qk = 1 — pk — вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность р каждой из схем.
Формула полной вероятности.
1.175. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80 % всего времени полета, условия перегрузки — в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки — 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.
1.182. Три стрелка, вероятности попадания которых при одном выстреле в мишень в неизменных условиях постоянны и соответственно равны p1 == 0,8,
р2 = 0,7, р3 = 0,6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность события А == {в мишени окажется ровно две пробоины}, приняв в качестве гипотез элементарные исходы данного эксперимента.
1.184. В первой урне находится 6 белых и 4 черных шара, во второй — 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекают сразу 3 шара, и шары того цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
1.185. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает a % брака, второй — b %. Для контроля отобрано n1 деталей из первого цеха и n2 из второго. Эти n1 + n2 деталей смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?
Формула Байеса.
1.194. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении п1: п2: n3 , причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны p1, p2 и p3 . Прибор, приобретенный научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что данный прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе отсутствует)?
1.196. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 — только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха, — то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.
1.197. Предположим, что надежность определения туберкулеза при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90 % (т. е. 10 % носителей туберкулеза остаются неопознанными). Вероятность того, что у здорового человека будет ошибочно определен туберкулез, составляет 1 %. Просвечиванию была подвергнута большая группа людей со средним процентом больных, равным 0,1 %. Какова вероятность того, что человек, признанный больным, действительно является носителем туберкулеза?
1.198. Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени T) первого узла равна 0,9, второго — 0,8. За время испытания прибора в течение времени Т зарегистрирован отказ прибора. Найти вероятности следующих событий: A1 = {отказал только первый узел}, A2 = {отказали оба узла}.
1.202. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны p1, р2 и р3. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?
1.203. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 подготовленных хорошо, 5 — удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные — 20, подготовленные удовлетворительно — 15, и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности следующих событий: S1 = {студент подготовлен отлично или хорошо}, S2 = {студент подготовлен удовлетворительно}, S3 = {студент подготовлен плохо}.