Считаем, что обшивка работает в условиях плоского напряженного состояния, а стрингеры сопротивляются растяжению-сжатию (рис 2.6,а). Тогда в каждой из обшивок возникают усилия , , , а в поясах силы , , .
Рис. 2.6. Геометрия, нагрузка и усилия в панели: а – рассматриваемая панель;
б – равновесие отсеченной части; в – равновесие элемента стрингера и обшивки
Удовлетворяя уравнениям равновесия проекций сил на оси , и уравнению моментов относительно точки A, получаем с учетом симметрии задачи следующие соотношения между усилиями (рис 2.6,б)
, , ,
, (2.13)
На границе пластины и продольного подкрепления (рис. 2.6,в) выполняется условие равновесия
.
В обшивке справедливы уравнения равновесия плоской задачи
, . (2.14)
Интегрируя (2.14), усилия и можно выразить через усилия
(2.15)
Для реализации приближенных расчетов представим усилие в виде разложения в ряд по четным производным степени y:
Здесь учитывается симметрия задачи в отношении координаты y. Тогда
Определяем константы интегрирования, удовлетворяя граничные условия по координате y:
при или ;
при и .
Таким образом, окончательно запишем искомые усилия:
, , ,
, (2.16)
.
Как видно пять искомых усилий выражаются через три неизвестных функции: , и .
Если в решении задачи пренебречь нормальными напряжениями (), то все известные усилия (при ) выразятся через .
Для определения статических неизвестных воспользуемся принципом наименьшей работы. Запишем выражение для дополнительной потенциальной энергии системы, состоящей из обшивки и продольных элементов:
. (2.17)
Подставляя в (2.17) соотношения (2.16) и варьируя по неизвестным , и полученный функционал , строим разрешающую систему дифференциальных уравнений совместности деформаций. Эта система достаточно громоздка и приводить здесь не будем.
Упростим решение задачи, считая, что в обшивке изменяется по линейному закону. Если силы в стрингерах и , то деформации в них и . Поскольку деформации пластины равны деформациям стрингера по линии контакта, то можно выразить все усилия в пластине через усилия в стрингере.
Закон изменения в пластине
,
где и - усилия в пластине по линии контакта со стрингерами I и II
Тогда нормальные усилия для каждой пластины с учетом условий контакта со стрингерами и с учетом (2.13) запишутся в виде
и ,
где .
Поскольку деформация стрингера и обшивки по линии контакта равны, то с учетом (2.13) усилия в пластине здесь выражаются через силы и в стрингерах
и ,
где .
Согласно (2.13) имеем
. (2.18)
Обозначим через , тогда усилия в обшивке выражаются через силу стрингера и записываются в следующем виде:
(2.19)
Подставляя (2.19) в (2.17) получаем следующий функционал:
.
Приравнивая вариацию функционала нулю, получим уравнение совместности деформации
, (2.20)
где
Примем для рассматриваемой панели следующие значения параметров: МПа; МПа; МПа; МПа; ; м; м2; м; м.
Для этих параметров коэффициенты дифференциального уравнения:
м-1; А = 4; ; ; ; м-4; ; .
Здесь , поэтому решение уравнения (2.20) запишется следующим образом:
,
где , , .
Константы , , , определяются из граничных условий:
при и ;
при и . (2.21)
Отсюда , а закон изменения усилий и имеет вид:
; (2.22)
.
Усилия в пластине , и сила в стрингере определяются в результате подстановки (2.22) в (2.18) и в (2.19).
Если принять что обшивка не воспринимает нормальные напряжения , то во всех соотношениях необходимо положить .
Разрешающее уравнение задачи примет вид:
.
Обозначая , перепишем уравнение в виде:
, где .
Здесь , тогда корни все действительные, характер решения меняется и принимает вид:
,
где ; .
Константы определяем из граничных условий (2.21): ; ; ; .
В этом случае функции:
; (2.23)
.
Напряжения в пластине . Если принять, что пластина между стрингерами работает только на сдвиг, т.е. , . В этом случае разрешающее уравнение, полученное на основании принципа наименьшей работы, аналогичное уравнению (2.20) примет вид:
,
где .
Корни характеристического уравнения , а решение имеет вид:
.
Для этого решения константы определяются из граничных условий по концам стержня (при , при ): , .
В результате получим решение
(2.24)
Формулы (2.22) - (2.24) представляют решение одной и той же задачи, но с различными допущениями. Первый вариант решения (2.22) является наиболее точным, два других (2,23), (2.24) – менее точными. Указанные варианты решения проиллюстрированы на рисунке 2.7, на котором представлен характер изменения усилий по линии контакта со стрингером, а так же усилий и по координате x (верхний индекс в
|
усилиях означает номер варианта). В первых двух вариантах граничные условия удовлетворяются точно. В третьем же варианте, в котором принимается, что пластина вообще не воспринимает нормальных напряжений, граничные условия можно удовлетворить только в стрингере, а на краях панели появляются максимальные касательные напряжения, которых в исходной задаче быть не может.
Изгибаемая панель
Рассмотрим изгибаемую панель, нагруженную поперечными силами в ее плоскости [2]. Все параметры и нагрузка панели, рассматриваемые в этом разделе, приведены на рис. 2.8. Решим эту же задачу в напряжениях и сравним полученные результаты с решением задачи в перемещениях, которая будет рассмотрена дальше.
Рис. 2.8. Подкреплённая панель
Рассмотрим первый упрощенный вариант, принимая, что в пластине нормальные усилия меняются по координате по линейному закону и представляются в виде . Предварительно удовлетворим все статические соотношения. Учитывая симметрию поперечного сечения панели, удовлетворим уравнение равновесия моментов в сечении относительно оси . Оно имеет вид
, (2.25)
где - сила в поясе. После интегрирования усилий в пластине выразим составляющую этого усилия через силу на конце панели и силу , т.е. . Тогда усилие запишется в виде
. (2.26)
Удовлетворим уравнения равновесия в стенке
; (2.27)
и с их помощью касательное усилие и нормальное усилие вдоль оси выразим через нормальное усилие . Эти усилия принимают вид
; , (2.28)
где и есть функции интегрирования, которые определяются из условий контакта пояса и стенки. При должны выполняться условия и . После подстановки усилия в выражения (2.28), интегрирования по координате и удовлетворения граничных условий выражения (2.28) принимают вид
;
; .
Таким образом, все неизвестные силовые функции напряженного состояния выражаются через усилие в поясе , т.е. задача один раз статически неопределима. Для удовлетворения уравнения совместности деформаций и определения статического неизвестного используем принцип наименьшей работы. Запишем потенциальную энергию конструкции
. (2.29)
После подстановки выражений усилий и интегрирования их по координате потенциальная энергия примет вид
.
Проварьировав полученный функционал, получим разрешающее уравнение совместности деформаций в виде
, (2.30)
где ; ;
.
Решение этого уравнения имеет вид
,
где - комплексные корни характеристического уравнения, если ; - частное решение дифференциального уравнения. Для данной задачи оно имеет вид .
Если корни характеристического уравнения действительные, то решение примет вид
.
Константы интегрирования определяются из следующих граничных условий:
при ; ; , где среднее касательное напряжение в поперечном сечении пояса ; - модуль сдвига сечения; - среднее в сечении значение сдвига, которое равно значению сдвига в стенке в месте контакта с поясом при . Тогда в этой точке и второе граничное условие принимает вид ;
при ; и .
Если в решении пренебречь влиянием напряжения , то разрешающее дифференциальное уравнение будет второго порядка и вида
,
где ; .
Его решение записывается в форме
,
где частное решение имеет вид .
В этом случае можно удовлетворить только по одному граничному условию на каждом краю: при ; и при ; . Тогда ; и усилия принимают вид, соответствующий усилию для длинной панели, когда один край не влияет на противоположный:
(2.31)
Здесь и - нормальное и касательное усилия в стенке; - сила в продольном подкрепляющем элементе; ; ; - модуль упругости стенки вдоль оси ; - искомая толщина стенки; ; ; - корень характеристического уравнения; - модуль сдвига стенки. В этой задаче в стенке усилие . Для короткой панели константы решения равны:
;
и усилие в поясе принимает вид
.
Остальные усилия получатся после подстановки в формулы (2.31).
Теперь рассмотрим эту же задачу при условии, что функция усилий меняется по координате пропорционально функции , т.е. . Проделав соответствующие процедуры в соответствии с формулами (2.25) - (2.28) и удовлетворив граничные условия по координате для определения и , найдем все необходимые усилия в пластине, выраженные через неизвестное усилие в поясе . Записав энергию в форме (2.29) и проварьировав это выражение по , получим разрешающее уравнение совместности деформаций в прежней форме (2.30), но с новыми значениями коэффициентов ; и . Приведем сравнение решений задач при в форме (2.25) и виде . Примем следующие расчетные параметры панели: длина панели м, высота панели м, площади поперечных сечений продольных стержней балок равны см2, модуль упругости стержня принят ГПа. Для пластины панели берем композитную однонаправленную ленту со следующими характеристиками: модуль упругости вдоль направления волокон ГПа, поперек – ГПа, модуль сдвига ГПа, коэффициент Пуассона , углы укладки и толщины слоев мм, мм. При этих параметрах с помощью программы MAPLE были определены коэффициенты дифференциального уравнения и после его решения и удовлетворения граничных условий были определены все усилия в панели. Коэффициенты характеристического уравнения ; , корни будут действительными числами и равны и . Расчетные данные приведены на рис. 2.9 и 2.10. На рис. 2.9 приведено распределение усилия вдоль верхнего растянутого стержня, на рис. 2.10 приведено распределение усилия в зоне, прилегающей к этому стержню.
Рис. 2.9. Распределение силы N c Рис. 2.10. Распределение N x
в стенки панели при y = H/ 2