Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостоверится в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию.
Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится её истинное значение. Обработка должна проводиться в соответствии с ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения».
Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов.
а) Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений. На этом этапе определяются:
среднее арифметическое значение х измеряемой величины по формуле:
х =1/n åxi.(27)
СКО результата измерения Sx по формуле:
s = Sx =ÖД(х) =Ö(1/n-1) å(xi -x)2(28)
СКО среднего арифметического значения Sx по формуле:
= Sx/Ön = Ö(1/n(n-1)) å(xi -x)2(29)
В соответствии с критериями, грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО.
б) Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений. Первым шагом при идентификации является построение по исправленным результатам измерений xi, где = 1,2,…,n, вариационного ряда, а так же yi, где yi = min(xi) и yn = man(xi). В вариационном ряду результаты измерений располагаются в порядке возрастания. Дальше этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной h =(y1+ y2)/m.
Полученное значение длины интервала группирования h всегда округляется в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.
Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде D1= (y1, y1+h); D2= (y1+h, y1+2h);…; Dm= (yn-h, yn), и подсчитывают число попаданий nk (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов группирования по формуле:
= ni/n, где n =1,2,…m(26)
Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений х откладывают интервалы Dк в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой Pi. Иногда высоту прямоугольника откладывают равной эмпирической плотности вероятности Р*К = РК/DК = nK/(n DК), которая является оценкой средней плотности в интервале DК. В этом случае площадь под гистограммой равна 1.
По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерения.
в) Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n >50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат) или критерий Мизиса - Смирнова (v2). При 15< n < 50 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d- критерий), приведенный в ГОСТ 8.207-76. При n<15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.
г) Определение доверительных границ случайной погрешности. Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности: D = ± zpSx.
д) Определение границ неисключенной систематической погрешности q результата измерений. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Доверительная вероятность при определении границ q принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.
е) Определение доверительных границ погрешности результата измерения DР. Данная операция определяется путем суммирования СКО Случайной составляющей Sx и границ неисключенной систематической составляющей q в зависимости от соотношения q / Sx.
ж) Запись результата измерения. Результат измерения записывается в виде: X=X ± Dp, при доверительной вероятности Р =Рд. При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде х, Sx, n, q при доверительной вероятности Р =Рд.