Урок № 49-50. 19.11.2021
Обратная связь: работыприсылать личным сообщением ВК
Задание: проработать конспект, выполнить д/з.
Тема урока: Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
· простейшие показательные уравнения;
· решение показательных уравнений: замена переменной, разложение на множители;
· однородные показательные уравнения;
· графический метод решения показательных уравнений;
· системы показательных уравнений и их решение.
Глоссарий по теме
Уравнения вида , называются простейшими показательными уравнениями.
Теорема - основа метода замены переменной
Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений
.
Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:
Здесь f и g функции вида: , коэффициенты.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Рассмотрим показательные уравнения.
Показательным называется уравнение, в котором переменная входит только в показатели степеней, при заданном основании.
Уравнения вида , называются простейшими показательными уравнениями.
В самом простом случае уравнение принимает вид: .
Так как множество значений показательной функции - множество положительных чисел, то при уравнение решений не имеет.
Теперь рассмотрим случай b>0.
Вспомним, что показательная функция при a>1 монотонно возрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. В случае 0<a<1 показательная функция монотонно убывает и также принимает все положительные значения, каждое ровно один раз.
Рисунок 1 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения , a>1.
Рисунок 2 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения , 0<a<1.
Для того чтобы решить простейшее показательное уравнение , нужно число b представить в виде степени числа a.
Рассмотрим пример: .
Представим в виде степени числа 13: .
Теперь перепишем данное уравнение в виде: , поэтому x =2/5.
Ответ: x =2/5.
2. Теперь перейдем к решению более сложных показательных уравнений.
2.1. Рассмотрим уравнение вида:
.
То есть мы видим, что левая часть этого уравнения представляет собой сумму, слагаемые которого отличаются коэффициентами и показатели степеней с одинаковыми основаниям отличаются слагаемыми .
Для решения таких уравнений левую часть преобразуют следующим образом: выносят за скобку степень (часто, чтобы избежать дробных коэффициентов, выносят степень с наименьшим показателем):
Мы видим, что выражение в скобках представляет собой число.
Поэтому выразим и решим простейшее показательное уравнение.
Рассмотрим пример:
.
Решение:
Преобразуем левую часть и вынесем за скобку :
x-1=0
x=1
Ответ: x=1.
2.2. Рассмотрим еще одно уравнение, которое решается с помощью вынесения за скобку общего множителя.
.
Решение:
Преобразуем уравнение: перенесем степени с одинаковыми основаниями в одну часть:
,
Вынесем за скобку множители с одинаковыми показателями:
, .
Теперь преобразуем полученное уравнение к виду: . Для этого разделим обе части уравнения на и на 3:
.
x-0,5=1
x=1,5.
Ответ: x=1,5.
2.3. Еще один вид показательных уравнений – уравнения, сводящиеся к квадратным:
.
В этом случае вводят новую переменную: . Получим вспомогательное уравнение: .
После решения этого уравнения получим простейшие показательные уравнения.
Рассмотрим пример:
.
Решение:
Введем новую переменную: .
Запишем вспомогательное уравнение: .
. Вернемся к переменной х:
, .
Ответ:
2.4. Еще один вид уравнений, который сведется к решению квадратного или уравнения третей степени, это однородное уравнение.
Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:
Здесь f и g функции вида: , коэффициенты.
Однородные показательные уравнения решаются делением на или на и последующей заменой: .
Рассмотрим пример:
.
Решение:
Заметим, что , , . То есть уравнение можно записать в виде:
.
Разделим уравнение на , получим уравнение: . Теперь введем новую переменную: и получим вспомогательное уравнение:
, решим его:
.
, .
Ответ: .