Занятия 1, 2. Комплексные числа и действия над ними
Комплексными числами называются объекты вида , где – действительные числа, для которых
Комплексные числа складываются, вычитаются и умножаются по законам обычной алгебры с учетом того, что . Символ называется мнимой единицей.
Приняты следующие обозначения:
– множество всех комплексных чисел;
– действительная часть числа ;
– мнимая часть числа ;
– число, сопряженное с числом .
Геометрически число изображается как точка на координатной плоскости Oxy или как вектор (рис.1).
Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается . Модуль числа определяется формулой
и обладает всеми свойствами модуля действительного числа.
Любой угол между осью и вектором называется аргументом числа и обозначается , а угол из промежутка называется главным значением аргумента и обозначается .
Функции и для не определены.
В зависимости от того, в какой четверти расположено число (рис. 2), главное значение определяется однозначно формулой
=
в отличие от для каждого принимает бесконечно много значений, т. е. представляет собой бесконечное множество действительных чисел
.
Ради удобства пишут:
= .
В зависимости от решаемой задачи применяются различные формы записи комплексного числа.
Алгебраическая форма:
Показательная форма: ,
где и - одно из значений . Можно взять, например, . Функция обладает всеми свойствами показательной функции.
Тригонометрическая форма:
,
где и имеют тот же смысл, что и в показательной форме.
Переход от показательной формы к тригонометрической и обратный переход осуществляются на основе формулы Эйлера:
.
Следует учесть, что при сложении и вычитании комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой, а при умножении, делении и, особенно, при возведении в большие степени удобно пользоваться показательной формой.
Если ,то
,
Если то и определяются по формулам Муавра:
Функция для каждого значения принимает различных значений, т.е. представляет собой множество из различных комплексных чисел
Множество , есть множество решений уравнений
Множество решений квадратного уравнения
с комплексными коэффициентами дается формулой
где под понимается одно из значений квадратного корня из комплексного числа.
Теоретические упражнения
1. Пользуясь определением модуля, доказать, что модуль комплексного числа удовлетворяет неравенствам треугольника:
;
2. Доказать, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:
а) коммутативности:
, ;
б) ассоциативности:
, ;
в) дистрибутивности умножения относительно сложения:
.
3. Доказать следующие свойства сопряженных комплексных чисел:
а) ; ; б) ;
в) ; .
4. Основываясь на результатах предыдущей задачи вывести формулы для действительной и мнимой частей комплексного числа :
; .
Задачи
1. Найти следующих комплексных чисел:
а) , | д) = 8, |
б) = , | е) = -3, |
в) = , | ж) = . |
г) = , |
Решение:
а)
Изобразим число на комплексной плоскости (см. рис.1). Из рис. 3 видим, что угол между осью и вектором , принадлежащий промежутку , будет равен .
Значит, ,
б) Умножим числитель и знаменатель числа на сопряженное к знаменателю, т. е. на , получим:
Тогда
в) Сравнивая число с показательной формой комплексного числа, видим, что 3 есть , а одно из значений аргумента. Так как , то
Согласно формуле Эйлера
Значит,
г)
д), е), ж) = 8, = , = .
2. Записать следующие комплексные числа в показательной и тригонометрической формах:
а) , б) , в) , г) .
Решение:
а) так как , = , то взяв и одно из значений аргумента , получим число в показательной форме: . Применяя формулу Эйлера, получим Значит, тригонометрическая форма ;
б) Так как - одно из значений аргумента, то
;
в) Так как , то
г) Так как
3. Вычислить .
Решение.Запишем число в показательной форме. Так как (см. рис.5), то
Тогда по формуле Муавра
4. Найти все значения следующих корней:
а) , б) .
Решение:
а) Представим число в тригонометрической форме. Для этого вычислим , . Тогда
.
По формуле Муавра получаем
При различных получим следующие значения корня:
б) Так как число в тригонометрической форме имеет запись , то по формуле Муавра
при получим .
5. Решить уравнения:
а) б)
Решение:
а) Множество решений уравнения совпадает с множеством всевозможных различных значений .Так как , , то по формуле Муавра
Следовательно, корнями уравнения будут числа:
б) По формуле корней квадратного уравнения
,
где под понимается одно из значений квадратного корня. Так как то .
При получаем одно из значений квадратного корня
Значит, , т.е. уравнение имеет корни
.
6. Изобразить на комплексной плоскости множество точек , заданное условиями
а) , в) ,
б) , г)
Решение:
а) Модуль есть расстояние между точками и . Следовательно, соотношению удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые равноудалены от точек и . Как известно, множество таких точек есть серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках и (рис.6).
б) Неравенству удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, расстояние от которых до точки меньше 2. Множество таких точек есть внутренность круга радиуса 2 с центром в точке (рис.7).
в) Неравенствам удовлетворяют те и только те точки , для которых угол между осью и вектором, имеющим начало в точке и конец в точке , больше и меньше , включая . Это есть угол с вершиной в точке , за исключением одной стороны (рис. 8).
г) Так как , а
,
то первое неравенство имеет вид , откуда . Этому неравенству удовлетворяют те и только те точки , которые лежат в полуплоскости, выше прямой , включая саму прямую. Второе неравенство определяет внешность окружности радиуса 2 с центром в точке . Значит, решением системы будет внешность этой окружности, расположенная выше прямой (рис.9).
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти следующих комплексных чисел:
а) ; | б) = ; |
в) = ; | г) = . |
2. Записать следующие комплексные числа в показательной и тригонометрической формах:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Вычислить:
а) ; в) ;
б) ; г) .
4. Найти все значения следующих корней:
а) , б) ; в) ; г) .
5. Решить уравнения:
а) ; б) ; в) .
6. Изобразить на комплексной плоскости множество точек , заданное условиями
а) , б) ,
в) , г) .
Ответы и указания
1. а) , , , , , ;
б) 0, 1, 1, , , ;
в) , , , , , ;
г) , , , , .
2. а) ;
б) ;
в) ;
г) .
3. а) ; б) ; в) 1728; г) .
4. а) . Обозначить корень через . Тогда . Откуда найти и ;
б) ; ;
в)
г) ; .
5. а) Решениями уравнения будут все значения : ; ; ;
б) ; ;
в) 0; .
6. а) полоса ;
б) парабола ;
в) угол с вершиной в точке , стороны которого образуют с осью соответственно углы и ;
г) кольцо, ограниченное окружностями с центрами в точке и радиусами 1 и 3 соответственно.