Лекция Приложения дифференциального исчисления функции нескольких переменных
Учебные и воспитательные цели: дать системные основы приложения дифференциального исчисления функции нескольких переменных
1. Экстремум функции двух переменных.
2. Необходимые и достаточные условия экстремума.
3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
Экстремум функции двух переменных
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.
Пусть функция определена в некоторой области , точка .
Точка называется точкой максимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство .
Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек , отличных от , из - окрестности точки выполняется неравенство: . На рис. - точка максимума, а - точка минимума функции .
Необходимые и достаточные условия экстремума
Теорема (необходимые условия экстремума).
Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: .
Точка, в которой частные производные первого порядка функции равны нулю, т.е. , называется стационарной точкой функции .
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.
Теорема (достаточное условие экстремума).
Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функции имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения . Обозначим .
Тогда:
1. если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если ; минимум, если ;
2. если , то функция в точке экстремума не имеет;
В случае экстремум в точке может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Пример.
Найти экстремум функции
Решение.
. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
Отсюда получаем точки и .
Находим частные производные второго порядка данной функции: .
В точке имеем: , отсюда , т.е. .
Т. к. , то в точке функция имеет локальный максимум:
В точке и, значит, . Проведем дополнительное исследование. Значит, в окрестности точки функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке функция экстремума не имеет.
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений (т.н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области функции состоит в следующем:
1. Найти все критические точки функции, вычислить значение функции в них.
2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границах области.
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наименьшее и наибольшее.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями:
Решение.
1. Находим все критические точки: решением системы являются точки ни одна из точек не принадлежит области
2. Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков
На участке , где ,
. Значения функции ,
.
На участке , где . Значения функции .
На участке
Значения функции
3. Сравнивая полученные результаты, имеем:
Правило:
1) Найти частные производные первого порядка и критические точки
2) Найти частные производные второго порядка и вычислить их значения в критической точке .
3) Используя достаточное условие (Т.2.2) определить знаки и и сделать вывод о существовании экстремума.