1. Элементы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания). Привести примеры задач на нахождение перестановок, размещений и сочетаний.
Пример. Со старта ушло 6 спортсменов. Посчитать число возможных пар спортсменов, могущих занять первые два места.
2. Классификация событий (привести примеры), предмет теории вероятностей. Понятия совмещения и объединения событий.
Пример. Среди 100 лотерейных билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 билета выигрышные.
3. Виды случайных событий, их примеры. Классическое определение вероятности.
Пример. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают два шара сразу. Какова вероятность того, что оба шара белые?
4. Аксиомы вероятностей. Статистическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
Пример. Два студента договорились встретиться с 12 до 13 в определенном месте и ждать друг друга не более четверти часа. Найти вероятность их встречи, если они выбирают время прихода наудачу.
5. Зависимые и независимые события (в том числе независимые попарно и в совокупности), привести примеры. Условная вероятность.
Пример. В ящике 100 деталей: 80 стандартных и 20 нет. Наудачу берут одну деталь и проверяют стандартность. Затем, не помещая первую деталь обратно, берут вторую и тоже проверяют стандартность. Какова вероятность того, что обе детали стандартные?
6. Вероятность произведения событий.
Пример. У сборщика имеется 3 конусные и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял наудачу один, а затем второй. Найти вероятность того, что первый- конусный, в второй- эллиптический.
7. Вероятность суммы событий.
Пример. Вероятности попадания в цель трех стрелков равны: р1= 0,8; р2= 0,7; р3= 0,9. Стрелки делают залп. Найти вероятность поражения цели.
8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Пример. Для выбора члена в сборную на олимпиаду из 1-ой группы выделено 4 кандидата, из 2-ой- 6 кандидатов, а из 3-ей- 5 кандидатов. Вероятность того, что кандидат из 1-ой группы попадет в сборную равна 0,9; из 2-ой- 0,7; а из 3-ей- 0,8. Наудачу выбранный кандидат попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?
9. Последовательность испытаний. Формула Бернулли. Формула Муавра-Лапласа (Локальная теорема Лапласа).
Пример. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости 3 раза 6 очков появится 2 раза.
10. Формула Муавра-Лапласа (Локальная теорема Лапласа). Формула Пуассона.
Пример. Найти приближенную вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит 104 раза, если вероятность его появления р = 0,2.
11. Формула Пуассона. Наивероятнейшее число появлений события в последовательных испытаниях.
Пример. С завода в магазин отправлено 2000 бутылок. Вероятность того, что бутылка разобъется в дороге 0,001. Какова вероятность того, что в пути разобъется 4 бутылки?
12. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности.
Пример. Вероятность попадания при выстреле 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий не менее 70 и не более 80.
13. Понятие случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной СВ и его способы задания.
Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов, в которых разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и 10 выигрышей по рублю. Найти закон распределения выигрышей СВ Х- стоимости выигрыша для владельца одного билета. Построить его графически.
14. Математическое ожидание дискретной СВ и его свойства.
Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х:
Х -2 0 3
р 0,1? 0,4
15. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной СВ и их свойства.
Пример. Найти среднее квадратическое отклонение дискретной СВ Х:
Х 2 3 10
р 0,1? 0,5
16. Функция распределения, и ее свойства.
Пример. Найти функцию распределения и поострить ее график для СВ Х:
Х -2 0 3 5
р 0,1? 0,3 0,2
17. Функция плотности распределения, и ее свойства.
Пример. По данной функции плотности распределения найти функцию распределения и построить их графики.
0, при x < 1;
f(x) = x/4, при 1 < x < 3;
0, при x > 3.
18. Числовые характеристики непрерывных СВ.
Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной СВ, заданной функцией плотности распределения:
x/2, при x Î [0;2];
f(x) =
0, при x Î [0;2].
19. Равномерное и показательное распределение СВ.
Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна 0,8; а второго- 0,9. Найти вероятность того, что на удачу взятая деталь стандартна, если из первого набора она извлекается с вероятностью 1/3, а из второго- 2/3.
20. Нормальное распределение СВ: доказать, что М(Х) = а, D(X) =σ2. График нормального распределения и влияние параметров на его форму.
Пример. Найти вероятность попадания нормальной СВ X с математическим ожиданием М(Х) = 8 и средним квадратическим отклонением σ(Х) = 4 в интервал 6<X<12. Р(6<X<12)?
21. Вероятность попадания нормальной СВ в заданный интервал. Вероятность отклонения нормальной СВ от ее математического ожидания. Правило трех сигм.
Пример. Найти вероятность отклонения нормальной СВ с математическим ожиданием М(Х) = a = 8 и средним квадратическим отклонением σ(Х)=4 от своего математического ожидания на величину не превышающую δ =1. Р(|X-a|<1)-?
22. Математическая статистика. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Эмпирическая функция распределения.
Пример. Составить эмпирическую функцию распределения роста студентов и построить ее график, если в выборке из 100 человек были получены следующие результаты:
X 150 160 170 180 190 200
n 4 15 26 36 17 2
23. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.
Пример. Построить гистограмму по следующему эмпирическому распределению:
X 150 160 170 180 190 200
n 4 15 26 36 17 2
24. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные эффективные и состоятельные оценки.
Пример. Пусть X1, X2,..., Xn- результаты независимых измерений, которые рассматривают как СВ, имеющие одно и то же математическое ожидание M(Xi) = a и дисперсию D(Xi) = σ2. При оценивании параметра a использовались две оценки: Ө1* = X1и Ө2* = (X1+ X2+... + Xn)/n. Исследовать эти оценки на смещенность и состоятельность.
25. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения оценок параметров. Оценка параметра показательного распределения.
Пример. Оценить параметр показательного распределения по результатам выборки: X 2,3 2,4 1,9 2 2,5 1,8 1,7 2,6 2,3 2,3.
26. Метод наибольшего правдоподобия для нахождения оценок параметров. Оценка параметров нормального распределения.
Пример. Оценить параметры нормального распределения по результатам выборки: X 1,1 1,2 0,9 1,3 0,8 0,7 0,7 1,2 1,3 0,9.
27. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал математического ожидания нормального распределения.
Пример. Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал математического ожидания нормально распределенной СВ, если среднее квадратическое отклонение σ = 3, а выборочная средняя Xв= 10,2. Объем выборки n = 16.
28. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал дисперсии (среднего квадратического отклонения) нормального распределения.
Пример. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал среднего квадратического отклонения нормального распределения, если объем выборки n = 100, а S = 40.
29. Статистическая проверка гипотез: основные определения. Ошибки первого и второго рода. Виды критериев.
Пример. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении СВ X, если известны эмпирические и теоретические частоты распределения:
Эмп. 5 10 25 49 84 70 34
Теор. 8 8 21 52 85 67 36
30. Критерий согласия Пирсона.
Пример. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении СВ X, если известны эмпирические и теоретические частоты распределения:
Эмп. 15 26 25 30 26 21 24 20 13
Теор. 15,86 16,36 25,32 32,12 33,16 30,02 21,74 13,78 11,64