Изучение затухающих колебаний физического маятника
Методические указания к лабораторной работе №5 по дисциплине
«Общая физика.
Механика. Молекулярная физика и термодинамика»
для студентов специальностей 150106, 150105, 150201, 150404, 2005030.
Магнитогорск
Составитель: Мигранова С.Г.
Методические указания к лабораторной работе №5 по дисциплине «Общая физика. Механика. Молекулярная физика и термодинамика» для студентов специальностей 150106, 150105, 150201, 150404, 2005030. Магнитогорск: МГТУ, 2012.
Рецензент: Дубосарская Ю.М.
Лабораторная работа № 5
Изучение затухающих колебаний физического маятника
Цель работы: изучение затухающих колебаний, определение основных характеристик затухающих колебаний.
Приборы и принадлежности: физический маятник, постоянный магнит, секундомер, весы.
Краткая теория
Затухающие колебания. Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленной потерей энергии колебательной системой. Затухание колебаний в механических системах вызывается в основном трением, сопротивлением среды и возбуждением в ней волн.
Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие колебания физического маятника. Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называют физическим. Движение маятника описывается уравнением динамики вращательного движения , где - результирующий момент сил, действующих на систему, - момент инерции системы, - угловое ускорение: . На физический маятник действует момент силы тяжести и момент сил сопротивления, при малых отклонениях пропорциональный угловой скорости .
При малых колебаниях , тогда
(1) - дифференциальное уравнение затухающих колебаний физического маятника.
Введем обозначения физических характеристик:
- циклическая частота свободных незатухающих колебаний маятника,
- циклическая частота затухающих колебаний, - период затухающих колебаний.
(2) -уравнение затухающих колебаний, полученное при выполнении условий: отклонения маятника малы, момент сил сопротивления пропорционален скорости, выполняется неравенство .
Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет следующий вид:
, (3)
где (4) - амплитуда затухающих колебаний, (5) - коэффициент затухания.
График зависимости при начальной фазе имеет вид экспоненты, причем, чем меньше коэффициент β, тем амплитуда убывает слабее.
Затухающие колебания - непериодические, т.к. в начальный момент никогда не повторяется. Однако обращается в ноль и достигает max и min через один и тот же промежуток времени .
Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.
(6)
Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина , равная логарифму отношения амплитуды в момент времени к амплитуде через период:
, (7), где - число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.
Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина , равная , умноженным на отношение энергии в момент времени к разности энергий через период:
Т.к. полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды, т.е. , то
При малых значениях логарифмического декремента затухания ( <<1) и добротность (8)
Теория метода и описание установки
Установка для изучения затухающих колебаний представляет собой физический маятник, который совершает колебания относительно точки подвеса О. Нижней частью маятника является полукруглая алюминиевая пластина. При движении маятника в магнитном поле постоянного магнита в нем индуцируются вихревые токи (токи Фуко), обусловливающие заметное магнитное взаимодействие поля и пластины. Сила этого взаимодействия всегда направлена против перемещения (правило Ленца) и пропорциональна скорости движения пластины. Изменяя расположение магнита относительно пластины, можно изменять силу сопротивления при колебаниях физического маятника.
Если экспериментально найти и , то по формулам (6), (7) и (8) можно вычислить коэффициент затухания , логарифмический декремент затухания , время релаксации и декремент затухания . Зная момент инерции маятника, можно найти коэффициент сопротивления r по формуле (5). Зависимость амплитуды - экспоненциальная (формула (4)) и поэтому лучше строить графики этих зависимостей в логарифмическом масштабе. Если учесть, что , то , где – число
колебаний. График зависимости от будет иметь вид прямой, проходящей через начало координат. На графике легко определяются по точке пересечения с горизонтальной прямой, соответствующей значению . Если график не пресекается с ординатой, равной единице, то можно заменить 1 на 0,5, но тогда полученное значение нужно умножить на 2.