Площадь поверхности пирамиды

29.03 - 30.03.2022

Класс. Геометрия

Тема: Пирамида

1) Изучить теоретическийматериал п.п. 32-34(учебник) или видео урок по ссылке https://resh.edu.ru/subject/lesson/5866/conspect/221575/

2) Составить опорный конспект по изученному материалу

 

Конспект

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник A₁A₂...A_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим PA₁A₂A₃...A_n n-угольную пирамиду.

Многоугольник A₁A₂...A_n называется основанием,

треугольники PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁ – боковые грани пирамиды,

отрезки PA₁, PA₂,…, PA_n – боковые ребра пирамиды,

точка Р – вершина пирамиды.

PH (A₁A₂A₃), РН - высота пирамиды.

Высота пирамиды

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Высота может лежать и вне пирамиды или быть одним из боковых ребер

Высота SH вне пирамиды Высота пирамиды SA- боковое ребро

Правильная пирамида

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание –

правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину

пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним,

что центром правильного многоугольника называется центр вписанной

в него (или описанной около него) окружности

 

Правильная пирамида

Cвойства правильной пирамиды.

· Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

· Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды,

проведенная из ее вершины. На рисунке PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты

в равных треугольниках.

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду PA₁A₂...A_n и проведем

секущую плоскость β, параллельную плоскости основания

пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В₁,В₂,...В_n

Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника.

Многогранник, гранями которого являются n-угольники

A₁A₂...A_n и В₁В₂...В_n (нижнее и верхнее основания соответственн о),

расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников

A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, … A₁A_nB_nB₁ (боковые грани),

называется усеченной пирамидой.

Отрезки A₁B₁, A₂B₂, … A_nB_n называют боковыми ребрами

усеченной пирамиды. Усеченная пирамида

Усеченную пирамиду с основаниями A₁A₂...A_n и В₁В₂...В_n

обозначают следующим образом: A₁A₂...A_nВ₁В₂...В_n.

 

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки

одного основания к плоскости другого основания

называется высотой усеченной пирамиды.

 

Отрезки HH₁ и В₁O –высоты усеченной пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство S_полн= S_бок+S_осн

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

S_бок = Р_осн· l, где l - апофема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.