III Дифференциальные уравнения
32. ДУ 1 порядка: вид, задачи Коши, геометрический смысл.
Имеет вид
Если уравнение можно разрешить относительно , то его можно разрешить
- ДУ 1 порядка разрешенное относительно порядка
Уравнение устанавливает связь между координатами точка (x;y) и угловым коэффициентам к касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку отсюда следует дифференциальное уравнение дает совокупность направлений на плоскости x и y – геометрический смысл ДУ 1 порядка
Опр. Кривая во всех точках в которой направлена одинаково называется изоклиной, уравнения изоклины можно получить если положить то есть , условие что при функция y должна быть равна заданному числу то есть (называется начальным условием.
Начальное условие записывается в виде:
Общим решением ДУ 1 порядка называется функция содержащая одну постоянную и удовлетворяющую условию одной
1. функции является решением ДУ при каждом фиксированном С.
2) Какого бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной равной c=c0, что функция удовлетворяющих данному начальному условию.
Теорема (существующее и единственное решение задачи Коши)
Если в уравнении .. и ее частная производная непрерывный вектор области Д содержащей точку (x0;y0) то сумма единственного решения этого уравнения удовлетворяет начальному условию при .
Геометрический смысл теоремы – состоит в том, что при выполнении ее условия существует единственная интегральная кривая ДУ, проходит через точку (x0;y0)
33. ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными
Опр. Уравнения вида называется ДУ 1 п орядка с разделяющимися переменными. Оно решается непосредственным интегрированием p(x)+q(y)=c – общий интеграл, где p(x) и q(y) – первообразная для функции P и Q
Опр 2. Уравнения вида называется ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными, с учетом что или или делим на проинтегрировав получим интеграл.
Опр 3. Уравнение вида: называется ДУ с разделяющимися переменными. Для нахождения данного ДУ, обе части данного уравнения необходимо разделить на выражение получим . Проинтегрировав последнее равенство, получим общий интеграл.
34. Линейные ДУ 1 порядка
ДУ 1 порядка называется линейным, если его можно записать в виде: , где Р(х) и Q(x) – заданные функции.
Если Q(x)=0 то уравнения называется линейным однородным ДУ 1 порядка
Если Q(x)≠0 то уравнения называется линейным неоднородным ДУ 1 порядка
35. Однородные ДУ 1 порядка
Опр1. Уравнение y ‘=f(x,y) называется однородным, если его можно представить как функцию аргумента
Опр2. Уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0, называется однородным если P(x;y) и Q(x;y) однородные функции одного измерения (т.е. в них свободный член равен 0, а каждое слагаемое имеет одинаковую степень.
Уравнения данного типа решается с помощью введения новой переменной. подстановка
Подставив y и y’ в уравнения или P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 получим ДУ с разделяющими переменными
36. ДУ 2 порядка: вид, задачи Коши, геометрический смысл
ДУ 2 порядка в общем случае имеет вид . Общем решением данного уравнения называется функция Где - незявисящие от х постоянные удовлетворяющие условиям:
• функция от является решением ДУ для каждого значения
• какого бы не было начальное условие y(x=x0)=y0 y’(x=x0)=y’0 существуют единственные значения постоянной и является таким что функция является решением уравнения и удовлетворяющих начальным условиям y (x=x0)=y0 y’(x=x0)=y’0, всякое решение уравнения полученного из общего при конкретных значениях постоянных и равно постоянным и называется частным решением.
График ДУ 2 порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ представляет собой множества кривых, частное решение кривых, одна кривая части этого множества проходят через точку (x0;y0) и имеющая в ней касательную с заданными условиями коэффициентами. y’(x0)=y’
Задача нахождения решения ДУ, удовлетворяющего заданным начальным условием называется задачей Коши.
37. Ду 2 порядка, решающиеся методом понижения порядка
– решение данного ДУ находим в двукратном интегрировании
Замечание ДУ n порядка вида. решается аналогично n кратным интегрированием.
38. Линейные однородные ДУ 2 порядка. Теоремы о частных решениях
39. Фундаментальная система частных решений линейного однородного ДУ 2 порядка
40. Определитель Вороновского и его свойства
41. Основная теорема
42. Линейные неоднородные ДУ 2 порядка. Теоремы о частных решениях.
Линейным ДУ называется такое ДУ, в котором неизвестная функция и все её производные входят в первых степенях не перемножаясь между собой.
В зависимости ль вида правой части уравнения y”+p*y ’+q*y=f(x) и корней соответственно характеристического уравнения возможны случаи:
1)
P(n)- многочлен степени n
А) Если α является корнем характеристического уравнения
- многочлен степени n с неопределенным коэффициентом
Б) если α является корнем характеристического уравнения то:
t- кратность корня α
2) P(x)=Pn(x)
а) если 0 не является корнем характеристического уравнения то:
б)) если 0 является корнем характеристического уравнения то:
3)
А) еслине являются корнемхарактеристического уравнения то
и - многочлены степени ч с неопределенными коэффициентами
Б) если являются корнемхарактеристического уравнения то
4)
А) если - не являются корнемхарактеристического уравнения то
Б) - являются корнемхарактеристического уравнения то
Далее необходимо найти 1 и 2 производную и подставить в данное ДУ. Найти неизвестный коэффициент.