ТОМ
1)Определение простой и десятичной дроби:
2)Опр-ие равных дробей:
3)Основное св-во дроби:
Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число, то получим дробь равную данной
Когда делим числитель и знаменатель – дробь сокращаем. Для проведения дробей к одинаковому знаменателю – выполняем умножение.
При измерении одного и того же отрезка, мы получили множество равных дробей …. Это множество представляет нам разную запись одного и того же положительного рационального числа (ПРЧ).
Приведение дробей к общему знаменателю – это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.
Определение. Положительное рациональное число – это множество равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому множеству, есть запись (представление) этого числа.
Покажем, что множество натуральных чисел является подмножеством множество п.р.ч. N Q+
(рисуется 2 отрезка) а=2е а=6е1=6/3е 2 N => N Q+ Разделим отрезок е на 3 равные части.
4)Опр-ие положительного рационального числа:
Положительным рациональным числом наз. Класс равных дробей,а каждая дробь,принадлежащая этому классу,есть запись этого числа.
5)Опр-ие суммы п.р.ч.;законы сложения:
Сложение положительных рациональных чисел
Определение. Если положительные числа «а» и «в» представлены дробями m/n и p/n, то сумма чисел «а» и «в» называется число, представляемое (m+p)/n
1.Коммуникативный (переместительный) а+в=в+а
2.Ассоциативный (сочетательный) (а+в)+с=а+(в+с)
6)Доказательство переместительного закона сложения:
Коммуникативный (переместительный) а+в=в+а
Дано: а,в ͼ Q+
Док-во: а=m/n в= p/n, где по определению дроби n m p ͼ N, а+в =m/n+p/n= (m+p)/n
в + а = p/n+m/n= (p+m)/n
Рассмотрим 2 дроби
(m+p)/n и (p+m)/n – знаменатели равны
Т.к. числа m и р натуральные, то
m+p= p+m- это переместит закон для натур чисел.
Значит, (m+p)/n=(p+m)/n следовательно а + в = в +а
7)Опр-ия правила п.р.ч.;правила вычитания:
Определение. Разностью положительных рациональных чисел «а» и «в» называется такое число «с», которое удовлетворяет условию а-в=с ó а=в+с
Теорема о существовании: разности п.р.ч. а и в существует, тогда и только тогда, когда в<(или равно)а
Теорема о единственности разности: если разность п.р.ч. существует, то она единственна.
Выведем правило, по которому находят разность «а» и «в»
Док-во: Пусть а = ; а – в = - = ó(след по опред разности удовлетворяет условию) = + след по опред суммы ↔ m = р + х => (по опред разности натуральных чисел) x = m – p
Правило вычитания:
1. Вычитание числа из суммы (а + в) – с = (а – с) + в = а + (в – с)
2. Вычитание суммы из числа а – (в + с) = (а – в) – с = (а – с) – в
8)Опр-ия произведения п.р.ч.;законы умножения:
Определение. Если положительные рациональные чисел представлены дробями то их произведением есть число, представленное дробью
Правило умножения:
1. Переместительный ав = ва
Док-во: а=m/n в= p/q, где по определению дроби n m p q ͼ N,
Рассмотрим 2 дроби
и –; nq=qn – перемест. Закон умнож. для натур. чисел
мр=рм- это переместит закон умнож. для натур чисел.
Значит, = следовательно ав = ва
2. Сочетательный (ав)с = а(вс)
3. Умножение суммы на число (а + в)с = ас + вс распределит закон относительно сложен
Умножение разности на число (а – в)с = ас – вс распределит закон относительно вычитанию
9)Опр-ия частного п.р.ч.;правила деления:
Определение. Частным положительных рациональных чисел «а» и «в называется такое число «с», что а = вс, число «с» обозначают как а: в.
Частное чисел m/n и p/q есть mq/np
Док – во: а = m/n; в= p/q;c= mq/np по определению частного а = вс; m/n. p/q.mq/mp= (p (mq))/(q (np)) = (m (pq))/(n (pq))=m\n
m/n ∶ p/q= mq/np
На множестве ПРЧ деление выполняется всегда.
Правила деления:
(ав):с = (а: с)в = а(в: с) деление произведения на число
а: (вс) = (а: в): с = (а: с): в деление числа на произведение
(а + в): с = а: с + в: с деление суммы на число
(а - в): с = а: с - в: с деление разности на число
10)Формулировку теоремы о представлении обычной дроби в виде десятичной:
Теорема. Для того чтобы несократимая дробь , была равной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложении ее знаменателя на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.