Глава X. Кривые 2-го порядка на плоскости.
Определение 1. Кривой второго порядка на плоскости называется линия, определяемая в заданной аффинной системе координат уравнением вида
а11x2+a22y2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33 =0
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a12, a22 отличен от нуля.
Определение 2. В аффинной системе координат на плоскости
точкой называется любая пара чисел (x,y), где x ∈ℂ, y ∈ℂ.
При этом, если x ∈ℝ и y ∈ℝ, точка (x,y) называется действительной точкой плоскости, а если x ∉ℝ или y ∉ℝ, то мнимой точкой плоскости.
Замечание 1. Некоторым уравнениям, указанным в определении 1, могут удовлетворять лишь мнимые точки плоскости, некоторым – как действительные так и мнимые. На чертеже действительные точки изображаются, а мнимые – нет.
Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка существует такая декартова прямоугольная система координат , что в этой системе кривая имеет уравнение одного из следующих канонических видов:
Кривая | Каноническое уравнение | Количество действительных точек | |
Эллипс | , | Бесконечное множество | |
Мнимый эллипс | Нет | ||
Две мнимые пересекающиеся прямые | Одна, (0,0) | ||
Гипербола | Бесконечное множество | ||
Две пересекающиеся прямые | Бесконечное множество | ||
Парабола | Бесконечное множество | ||
Две параллельные прямые | Бесконечное множество | ||
Две мнимые параллельные прямые | Нет | ||
Две совпадающие прямые | Бесконечное множество |
В этих уравнениях — положительные действительные параметры.
Далее рассмотрим некоторые частные случаи кривых второго порядка на плоскости.
Окружность.
Определение 3. Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки М 0 , называемой центром на расстояние R, называемое радиусом.
x |
y |
M0 |
M |
R |
0 |
1) - радиусу окружности, т.е. .
;
(1) – уравнение окружности с центром M0= ( x0,y0 ) и радиусом R.
2) Обратно, если числа x,y удовлетворяют (1), то для точки выполняется . Таким образом (1) является уравнением окружности γ.
Эллипс.
F 2(с,0) |
x |
y |
M (x,y) |
F 1(- с,0) |
Определение 4. Эллипсом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F 2 есть величина постоянная, большая, чем расстояние между F 1 и F 2.
Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса.
Таким образом, если γ – эллипс, то
(2).
Причем 2 a >2 c, то есть а > c.
Выберем систему координат такую что Ox проходит через F 1 и F 2, проходит через середину отрезка F 1 F 2. Тогда F 1(-c,0), F 2(c,0).
1. Пусть - произвольная точка эллипса
так как .
Возведем в квадрат обе части последнего равенства: ; ; |: (–4);
>0. Снова возводя в квадрат обе части, получим:
;
;
;
|: ;
. Обозначим .
(3) – каноническое уравнение эллипса.
2. Обратно покажем, что если числа x 1, y 1 удовлетворяют (3), то точка M 1(x 1 ,y 1) принадлежит эллипсу, то есть выполняется (2) .
Из выразим
Тогда
. Что и требовалось доказать. При этом для выражений под знаком модуля справедливо:
.
Значит, если , то из и не превысит а. Поэтому и первый модуль нужно раскрывать со знаком «плюс».
Из 1. и 2. ⇒ Уравнение (3) является уравнением эллипса в выбранной системе координат.
F 2 |
x |
y |
F 1 |
-a |
a |
-b |
b |
c |
-c |
K |
M |
a – большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса.
Фокальное расстояние эллипса .
Эксцентриситет эллипса – число .
Директрисы эллипса – две прямые, параллельные малой оси, отстоящие от нее на расстоянии , то есть прямые .
Геометрический смысл директрисы: отношения расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету ε, т.е .
Гипербола.
F 2(с,0) |
x |
y |
M (x,y) |
F 1(- с,0) |
Определение 5. Гиперболой называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между точками F1 и F2.
Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы.
Таким образом, если γ –гипербола, то
⇔ (4),
причем .
Выберем прямоугольную систему координат такую что Ox проходит через F1 и F2, проходит через середину F 1 F 2. Тогда .
1. Пусть произвольная точка гиперболы, то есть выполняется (4).
,
(4) .
|:
Так как , то обозначим .
Таким образом получим
(5) – каноническое уравнение гиперболы.
2. Обратно, покажем, что если числа x1 и y1 удовлетворяют уравнению (5), то точка M1 (x1,y1) принадлежит гиперболе, то есть выполняется (4) для M1
(5) (6)
Аналогично .
(6) Заметим также, что .
При так как .
Из и следует и
выполняется (4)
При из и следует и
выполняется (4)
Таким образом 1.,2. ⇒ уравнение (5) является уравнением гиперболы.
F 2(с,0) |
x |
y |
F 1(- с,0) |
-a |
a |
-b |
b |
а – действительная полуось гиперболы;
b – мнимая полуось гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы – число
Асимптоты гиперболы – прямые
Директрисы гиперболы – прямые , их геометрический смысл определяется аналогично директрисам эллипса:
отношения расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету ε.
Парабола.
Пусть на плоскости дана точка F и прямая l. F ∉ l. Расстояние d (F, l) =p.
Определение 6. Параболой называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки F и данной прямой l. При этом F называется фокусом параболы, l – директрисой.
Таким образом, если γ –парабола, то
M Îg⇔ MF = d (M, l)= MK (7),
F |
l |
x |
y |
K |
M (x,y) |
Выберем прямоугольную систему координат, такую что , .
Oy || l. проходит на расстоянии от F и l. Тогда , уравнение .
1. Пусть - произвольная точка параболы ⇒ выполняется (7)
(7) возведём в квадрат. .
(8) – каноническое уравнение параболы
2. Обратно, пусть числа удовлетворяют (8), покажем, что точка -параболе, то есть выполняется (7).
(8)
выполняется (7).
Таким образом, 1.,2. ⇒ уравнение (7) является уравнением параболы.
y |
F |
l |
x |
K |
M (x,y) |
0 |
Приведение произвольного уравнения кривой второго порядка
К каноническому виду.
Рассмотрим произвольное уравнение кривой второго порядка относительно прямоугольной декартовой системы координат {O, , }.
а11x2+a22y2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33 =0 (8).
В матричном виде уравнение (8) можно записать так:
(9)
Заметим, что первые три слагаемых в (8) представляют собой квадратичную форму от переменных x и y: f (x,y) =а11x2+a22y2+2a12xy.
Матрица этой квадратичной формы имеет вид А= .
Применим к базису { , }. ортогональный линейный оператор c матрицей Т= , то есть перейдем от базиса { , } к базису { , }.по формулам
.. (10)
Тогда в системе координат {O, , } уравнение (9) примет вид
(11)
Коэффициенты и в уравнении (11) находятся как собственные значения матрицы А= .
Столбцы матрицы Т: T1= и T2= могут быть получены как нормированные собственные векторы матрицы А, принадлежащие собственным значениям и .
Далее, выделяя в полученном уравнении (11) полные квадраты, можно привести его к одному из видов, указанных в Теореме 1.