Практическая работа №12
« Расчет неразветвленной цепи переменного тока символическим методом»
Цель: закрепить навыки расчета цепей переменного тока с применением комплексных чисел при последовательном соединении активных и реактивных сопротивлений.
Теоретические положения
Для определения в произвольный момент времени заданной частоты необходимо знать два числа, например амплитуду и начальную фазу (а также ), можно записать, что в любой момент времени
.
Однако вместо двух действительных чисел можно пользоваться одним комплексным числом. Применение комплексных чисел упрощает расчеты цепей переменного тока и находит широкое применение.
Комплексным числом или, короче, комплексом называется сумма числа и мнимого , представляющего собой квадратный корень из отрицательно числа или произведение действительного числа и квадратного корня отрицательной единицы , называемой мнимой единицей и обозначаемой в электротехнике буквой .
Таким образом, комплексное число
. (1)
Действительное число графически изображают отрезком на оси абсцисс , которую называют осью действительных величин или, короче, действительной осью (рисунок 1). Например, заданное действительное положительное число изображено на рисунке 1 отрезком или вектором на положительной полуоси действительных величин.
Таким образом, мнимая единица представляет собой поворотный множитель, при умножении на который вектор, изображающий действительное число , поворачивается на угол против направления движения часовой стрелки, т.е. в положительную сторону. Умножение на мнимого числа или в общем случае комплексного числа также приводит к повороту изображающего вектора на в том же направлении. Например, умножение на поворачивает изображающий вектор на угол в том же направлении, и вектор получается , изображающий отрицательное число , так как
;
Здесь принято во внимание, что по определению
|
| |||||||||||||
Рисунок 1 – Графическое изображение действительных и мнимых чисел | Рисунок 2 – Разложение вектора на составляющие, совпадающие по направлению с осями координат |
Третье умноженье числа на дает отрицательное мнимое число
,
т.е.
и изображающий вектор вновь повернется на и займет положение на отрицательной полуоси мнимых величин – вектор на рисунке 1.
Четвертый поворот возвращает вектор в исходное положение, при этом
.
На рисунке 2 комплексное число изображено вектором , проекция которого на действительную ось равна его действительной части re , а проекция на мнимую ось – мнимой части Im ; таким образом, можно записать, что
, (2)
где и – обозначения действительной и мнимой составляющих.
Положительные полуоси действительных и мнимых величин обычно обозначают знаками «+1» и «+j», как и показано на рисунке 2 и последующих. Плоскость на которой изображаются комплексные величины или числа, называют комплексной плоскостью.
Векторы, изображающие комплексные величины, записывают с чертой снизу (, , , , ).
Длина вектора или модуль вектора
. (3)
Угол α, образованный вектором и положительной полуосью действительных величин и называемый аргументом вектора , определяется через его тангенс:
. (4)
Положение вектора на комплексной плоскости определяется по знакам и или значению .
Итак, вектор, изображающий комплексную величину или число, определяется действительной мнимой частями или значениями модуля и аргумента.
Кроме рассмотренной алгебраической формы записи комплексных величин и чисел применяется еще тригонометрическая форма, при которой действительная и мнимая части комплекса (2) выражаются через модель и аргумент. Как видно на рисунке 2,
. (5)
Применяется еще третья – показательная форма комплексных величин. Комплексное число в показательной форме выражается произведением модуля и поворотного множителя
(6)
Из (6) следует, что поворотный множитель (формула Эйлера)
, (7)
где и .
Поворотный множитель показывает, что вектор повернут относительно положительной полуоси действительных величин на угол α против направления движения часовой стрелки. Отрицательному значению угла α соответствует поворот вектора по часовой стрелке.
Так как показатель степени должен быть отвлеченным числом, то угол поворотного множителя должен выражаться в радианах. Однако ради большей наглядности допускается его условная запись в градусах.
Рассмотрим несколько характерных примеров вычислений с поворотным множителем, результаты которых полезно запомнить:
1) ;
2)
3) ;
4) .
Комплексные величины электрической цепи
Установлено, что мгновенное значение синусоидального тока или напряжения можно изображать проекцией вращающего вектора на неподвижную ось. Покажем теперь, что вращающиеся векторы, а следовательно, и изображаемые ими синусоидальные величины можно выражать комплексными числами.
Допустим, что требуется представить комплексом ток, амплитуда которого , а начальная фаза , т.е.
. (8)
Изобразим на комплексной плоскости под углом к положительной полуоси действительной величин вектор
(9)
длиной повернутый относительно оси действительных величин на угол (рисунок 3). Если этот вектор вращать в положительном направлении с угловой скоростью , то мгновенное значение тока изобразиться проекцией вращающегося вектора на мнимую ось; это условно можно записать так:
.
| Рисунок 3 Вектор тока на комплексной плоскости |
Отмечено, что взаимное расположение векторов на векторной диаграмме с течением времени не изменяется; поэтому нет необходимости вращать векторы при изображении синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости. Достаточно изобразить векторы в начальный момент времени, т.е. представить их комплексами. Например, ток (8) можно представить в символической записи (9).
Учитывая, что на векторных диаграммах обычно откладывают не амплитуды, а действующие значения синусоидальных величин, комплексное значение тока, или, короче, комплексной тока, запишем в виде
(10)
(отсутствие индекса указывает на то, что записано действующее значение комплексной величины).
Аналогично выполняется символическая запись напряжения.
Если
, (11)
то комплекс напряжения
. (12)
Частное от деления комплекса напряжения на выводах цепи (ветви) на комплекс тока называется комплексным сопротивлением цепи и обозначается прописной буквой , т.е.
(13)
или
, (14)
где - активное сопротивление; – реактивное сопротивление и – полное сопротивление.
Придав выражению (13) другой вид, получим
(15)
Закон Ома в комплексной форме.
Например, для последовательной схемы замещения катушки индуктивности (рисунок 4) при токе напряжение , где , или в комплексной форме
,
R |
i |
u |
L |
Рисунок 4 – Эквивалентная схема цепи с сопротивлением
и индуктивностью
а комплексное сопротивление
; (16)
так как для цепи с индуктивностью , то
. (17)
|
| ||||||||||||||
Рисунок 5 – Треугольник сопротивлений - цепи | Рисунок 6 – Векторная диаграмма - цепи |
Комплексное сопротивление и его действительная и мнимая составляющие могут быть представлены на комплексной плоскости (рисунок 5) в виде треугольника сопротивлений.
Модуль комплексного сопротивления, обозначенный строчной буквой z, определяется по формуле:
,
а аргумент – через его синус или тангенс:
, т.е. .
Из (15) напряжения на выводах цепи:
.
Первое слагаемое этого выражения представляет собой комплексное напряжение на активном сопротивлении. Это напряжение совпадает по фазе с током (рисунок 6), и, естественно, комплексы и имеют одинаковый аргумент, равный нулю. Второе слагаемое – комплексное напряжение на индуктивности , аргумент которого равен (как уже известно, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на ). Таким образом, множитель в выражении ясно показывает, что на индуктивности между напряжением и током имеется сдвиг фаз .
r |
u |
С |
i |
Рисунок 7 – Цепь с сопротивлением и емкостью
Для неразветвленной цепи с активным сопротивлением и емкостью (рисунок 7) при напряжение , где , комплексное сопротивление
,
где т.е. .
Треугольник сопротивлений показан на рисунке 8.
|
| |||||||||||||||
Рисунок 8 Треугольник сопротивлений rC - цепи | Рисунок 9 – Векторная диаграмма rC – цепи | |||||||||||||||
|
| |||||||||||||||
Рисунок 10 – Треугольник проводимостей rL - цепи | Рисунок 11 - Треугольник проводимостей rC – цепи |
Напряжение на емкости
Отстает по фазе от тока на 90° (рисунок 9). Напряжения на выводах цепи
.
Следует обратить внимание на то, что комплекс не зависит от выбора начальной фазы тока или напряжения. Например, для – цепи при любой начальной фазе тока напряжение будет опережать ток цепи на угол φ, тангенс которого равен отношению . Действительно, выбрав у тока начальную фазу Ѱ (8), т.е. приняв , запишем напряжение (11) , которое должно по-прежнему опережать ток на тот же угол φ, так как имеет то же значение, что и при нулевой начальной фазе. Следовательно, и комплексное сопротивление
. (18)
При расчетах разветвленных цепей часто вводят комплексную проводимость – величину, обратную комплексному сопротивлению:
, (19)
где – активная проводимость; – реактивная проводимость.
Например, для последовательной – цепи комплексная проводимость (рисунок 10)
.
где активная проводимость и индуктивная определяются по известным уже выражениям
; ; .
Модуль комплексной проводимости можно определить по известной формуле
,
а аргумент – через его синус или тангенс:
,
откуда видно, что , т.е. напряжение опережает по фазе ток.
Для последовательной – цепи комплексная проводимость (рисунок 11)
,
где активная проводимость и емкостная определяются по известным уже выражениям
; = и .
Модуль комплексной проводимости
,
а аргумент определяется через синус или тангенс:
; .
Откуда следует, что , т.е. напряжение опережает по фазе напряжение.
Наконец, для – цепи можно написать
;
,
где активная и реактивная проводимости
; ;
;
угол при или при ;
угол при или при .
Пример 1. Неразветвленная цепь с активным сопротивлением Ом и емкостным сопротивлением Ом находится под напряжением В. Определить ток в цепи.
Решение. Комплексное сопротивление
Ом;
модуль и аргумент этого сопротивления
Ом;
; .
То же сопротивление в показательной форме
Ом.
Ток в цепи
А;
А.
Если ток и напряжение в цепи выражены в комплексной форме, то активную и реактивную мощности цепи определяют, умножая комплексное напряжение на сопряженный комплексный ток.
Допустим, что , напряжение , т.е. вектор напряжения опережает вектор тока на угол , что при положительном значении угла соответствует индуктивной нагрузке.
Произведение комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока представляет мощность в комплексной форме, или короче, комплексную мощность. Действительно,
. (20)
Таким образом, действительная часть полученного комплекса выражает активную мощность, а мнимая – реактивную мощность цепи. При емкостной нагрузке, т.е. при , мнимая часть комплексной мощности имеет отрицательный знак ().
Пример 2. Определить активную и реактивную мощности цепи, если ток А, напряжение В.
Решение.
; ; .