Задание 1
Все рёбра правильной треугольной призмы имеют длину . Точки и — середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями и .
Решение. а) Пусть точка — середина . Тогда
.
Вместе с тем
,
а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным с прямым углом .
б) Проведём перпендикуляр к прямой . Тогда и . Следовательно, . Поэтому — проекция на плоскость .
Прямая перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Следовательно, угол — линейный угол искомого угла.
Длина равна половине высоты треугольника , то есть . Поэтому . Следовательно, .
Ответ: б) .
Задание 2
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
Рис. 1 Рис. 2 |
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Решение.
а) По условию , значит, прямые и параллельны. Следовательно, плоскости и параллельны (рис. 1).
Поскольку отрезки и параллельны, а плоскость параллельна плоскости , прямая параллельна плоскости .
б) Поскольку плоскость параллельна прямой , расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой до плоскости . Пусть точки и — середины рёбер и соответственно. Тогда прямые и перпендикулярны прямой . Таким образом, плоскость перпендикулярна прямой и параллельной ей плоскости . Пусть плоскость пересекает прямые и в точках и соответственно (рис. 2). Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки до прямой . Высота пирамиды лежит в плоскости , откуда
, ; .
Плоскости и параллельны, поэтому , откуда
.
Ответ: б) .
Пример 1.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .
Комментарий.
Доказательство утверждения в пункте а недостаточно обоснованно. С использованием утверждения пункта а верно получен ответ в пункте б.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 2.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .
Комментарий.
Утверждение в пункте а не доказано. В основе решения пункта б лежит необоснованное утверждение.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 3.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .
Ответ: б) .
Комментарий.
Доказательство утверждения в пункте а содержит неточности. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 2 балла.
Пример 4.
Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9.
Ответ: б) 12.
Комментарий.
Утверждение в пункте а не доказано. В решении пункта б обоснованно получен верный ответ.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 5.
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Ответ: б) .
Комментарий.
Утверждение в пункте а доказано. В решении пункта б есть неточность в решении системы уравнений (выражение С через А), а при применении формулы расстояния от точки до плоскости неверно найден модуль вектора нормали (не относится к вычислительной ошибке).
Оценка эксперта: 1 балл.