1. Находим область определения функции.
2. Вычисляем производную функции.
3. Определяем критические точки.
4. Область определения функции разбиваем критическими точками на промежутки и определяем знак производной на каждом полученном промежутке (с помощью метода интервалов).
5. Делаем выводы о наличие точек экстремума.
6. Вычисляем сами экстремумы функции, т.е. значения функции в точках экстремума.
Замечание. Отметим, что пункты 1-4 совпадают с порядком исследования функции на возрастание и убывание. Поэтому, исследование функции на возрастание-убывание и экстремумы рекомендуется выполнять для функции одновременно.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в точке и её окрестности непрерывные первую и вторую производные, причём , . Тогда функция имеет в точке минимум (максимум), если .
Доказательство. Пусть . Так как непрерывна в точке , то и в некоторой окрестности точки . В этой окрестности точки функция возрастает, так как . Но . Следовательно, при переходе через точку в направлении возрастания меняет знак с «-» на «+», поэтому имеет в точке минимум.
Доказательство в случае аналогично.
Замечание. Второе достаточное условие имеет более узкую область применения, так как часто при и .
Для сформулированного достаточного условия экстремума выделим
Порядок исследования функции на экстремум.
1. Находим область определения функции.
2. Вычисляем первую и вторую производные функции.
3. Определяем критические точки.
4. Вычисляем значения второй производной в критических точках
5. Делаем выводы о наличие точек экстремума.
6. Вычисляем сами экстремумы функции, т.е. значения функции в точках экстремума.
10.5
График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если соответствующий участок кривой расположен ниже (выше) касательной, проведённой в любой точке этого графика (Рисунок 10.1).
Точка графика дифференцируемой функции называется точкой перегиба, если при переходе через эту точку график меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.
Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею.
Теорема (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции). Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, то есть , то кривая на этом интервале выпуклая; если , то кривая на этом интервале вогнутая.
Доказательство. Возьмем в интервале произвольную точку и проведем в этой точке касательную. Пусть уравнение кривой
, (10.3)
уравнение касательной
. (10.4)
Из (10.3) и (10.4) следует . Применяя теорему Лагранжа к разности , получим , где лежит между и , или
.
Применяя теорему Лагранжа к разности , получаем
, (10.5)
где лежит между и .
Если , тогда . Так как и по условию , то .
Если , тогда . Так как и по условию , тогда из (10.5) следует .
Таким образом, доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной для любых и из , то есть кривая выпукла.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через значение производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.
Замечание. Внутренние точки области определения функции, в которых или не существует называют критическими точками второго рода.
Доказательство. Пусть при и при . Тогда при кривая выпукла, а при - вогнута. Следовательно, точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.
Пусть при и при , то при кривая вогнута, при кривая выпукла, то есть точка кривой с абсциссой - точка перегиба.
Рассмотренные теоремы в этом пункте позволяют сформулировать