Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Определение производной.
2. Геометрический смысл производной.
3. Правила дифференцирования.
4. Производные основных элементарных функций.
5. Производные высших порядков.
6. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши.
7. Правило Лопиталя.
8. Логарифмическое дифференцирование.
9. Производная функций, заданных неявно и параметрически.
10. Признаки постоянства и монотонности функций.
11. Экстремум функции (определение, необходимое и достаточные условия существования экстремума, критические точки).
12. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
13. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба (определение и признаки).
14. Асимптоты плоских кривых.
15. Полное исследование функций и построение графика функции.
16. Дифференциал функции.
Функции нескольких переменных
17. Определение функции нескольких переменных (ФНП). График ФНП.
18. Частные производные 1-ого и старших порядков.
19. Дифференцирование композиции ФНП.
20. Производная по направлению. Градиент функции. Свойства градиента функции.
21. Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие существования экстремума 
.
22. Условный экстремум функции двух переменных.
23. Вычисление наибольшего и наименьшего значений гладкой функции двух переменных в области (
и 
).
24. Дифференцирование неявной функции двух и одной переменной.
25. Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности.
Неопределённый и определённый интеграл
26. Первообразная. Неопределённый интеграл.
27. Свойства неопределенного интеграла.
28. Таблица интегралов.
29. Интегрирование методом подстановки и подведения под знак дифференциала.
30. Интегрирование по частям.
31. Интегрирование рациональных функций.
32. Интегрирование тригонометрических функций.
33. Интегрирование иррациональных функций.
34. Задачи, приводящие к определённому интегралу.
35. Определённый интеграл.
36. Геометрический смысл определенного интеграла и его свойства.
37. Теорема о среднем значении.
38. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу.
39. Теорема Ньютона – Лейбница.
40. Несобственные интегралы I и II рода. Сходимость и расходимость несобственных интегралов.
41. Приложения определённого интеграла.
Кратные и криволинейные интегралы
42. Определение и физический смысл двойного интеграла.
43. Правило вычисления двойного интеграла.
44. Основные свойства двойного интеграла.
45. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан перехода.
46. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
47. Тройной интеграл. Замена переменных в тройном интеграле.
48. Приложения двойного и тройного интегралов.
49. Криволинейный интеграл I рода и его приложения.
50. Криволинейный интеграл II рода. Его координатная запись и правило вычисления.
Дополнительные вопросы
Определения:
| 1) непрерывной функции в точке, 2) производной, 3) гладкой функции, 4) максимума и минимума функции, 5) экстремума функции, 6) критической точки (I рода), 7) возрастающей и убывающей функции, 8) монотонной функции, 9) выпуклой и вогнутой функции, 10) точки перегиба, 11) дифференциала функции, | 12) функции одной, двух и трёх переменных, 13) графика функции двух переменных, 14) гладкой функции нескольких переменных, 15) производной гладкой функции в точке по направлению, 16) градиента функции, 17) локального максимума и минимума функции двух переменных, 18) первообразной, 19) неопределённого интеграла, 20) несобственного интеграла I и II рода. |
Теоремы и уравнения.
- Классификация точек разрыва.
- Таблица производных.
- Правило Лопиталя.
- Уравнение касательной и нормали к графику функции одной переменной.
- Теорема Ферма.
- Теорема Роля.
- Теорема Лагранжа.
- Достаточные признаки существования экстремума.
- Условие возрастания и убывания функции.
- Условия выпуклости и вогнутости функции.
- Формула для вычисления производной по направлению.
- Свойства градиента.
- Формула полного дифференциала функции двух переменных.
- Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- Необходимое условие существования экстремума гладкой функции двух переменных.
- Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных.
- План нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области.
- Таблица интегралов.
- Формула Ньютона-Лейбница.
- Теорема о среднем значении.