Определение:Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
y y
X x
Определение:Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение. Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции
1. Найти вторую производную .
2. Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак второй производной в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба графика функции.
4. Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример 3. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: .
Решение: Находим , .
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение , .
+ | - | ||
↑ | точка перегиба | ↑ |
Ответ: Функция выпукла вверх при ; функция выпукла вниз при ; точка перегиба .
Общая схема для построения графиков функций
1. Найти область определения функции .
2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.
3. Исследовать функцию на четность или нечетность.
4. Исследовать функцию на периодичность.
5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
7. Найти асимптоты функции.
8. По результатам исследования построить график.
Пример 4. Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .
2) Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью ОХ: решим уравнение
.
с осью ОY:
3) Выясним, не является ли функция четной или нечет
ной:
.
Отсюда следует, что функция является нечетной.
4) Функция непериодична.
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .
Критические точки: .
-1 | 1 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
т. max | т. min -2 |
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
Критические точки: .
0 | |||
- | 0 | + | |
↓ | точка перегиба | ↑ |
7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
8) По результатам исследования построим график функции:
y
x