Математические модели теплообменных аппаратов

Глава 1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1.1. Классификация моделей

Современные химико-технологические и энерго-технологические производства характеризуются непрерывным ростом производительности единичных установок, повышающейся сложностью применяемых схем и увеличивающимся многообразием протекающих процессов и используемого оборудования.

Вторая половина нашего столетия отличается как масштабами применения искусственного холода, так и расширением областей его использования. У современных предприятий, производящих синтетические волокна или синтетический каучук, очень велика потребность в искусственном холоде различного потенциала. Развитие нефтехимической и газовой промышленности, производства синтетического кормового белка и минеральных удобрений влекут за собой рост производительности отдельных холодильных комплексов, обслуживающих предприятия этих отраслей промышленности.

Непрерывно возрастающие потребности промышленности в искусственном холоде привели к тому, что холодильные установки стали крупными потребителями энергии, расход которой на производство холода становится соизмеримым с потреблением энергии основными технологическими процессами. В ряде случаев энергопотребление холодильных установок начинает оказывать влияние на энергетический баланс районов расположения потребителей искусственного холода.

В этих условиях даже небольшое повышение эффективности производства искусственного холода может привести к заметному по абсолютной величине сокращению расхода энергии или затрат на сооружение холодильной установки.

Совершенствование процессов, создание наиболее эффективных конструкций, выявление наилучших режимов эксплуатации холодильного оборудования осуществляется повсеместно и непрерывно, при этом развитие средств вычислительной техники открыло новые возможности для решения этих проблем.

Одним из путей обоснованного выбора тех или иных решений, связанных с созданием и эксплуатацией систем производства искусственного холода, является широкое применение моделирования. Основная черта моделирования как метода научного познания заключается в том, что для изучения, непосредственно интересующего нас объекта, исследуется другой, заменяющий его объект.

Моделирование, как метод исследования, известно давно. Можно привести примеры моделей, относящихся к различным историческим эпохам и различным областям человеческих знаний. Так, образ пылинок, танцующих в солнечном луче, служил моделью движения атомов для античных атомистов; Микельанджело создал модели библиотеки Лауренциана и собора Св.Петра в Риме; Коперник – родоначальник точного естествознания – построил гелиоцентрическую модель солнечной системы.

Слово модель в русском языке имеет несколько значений, в частности: изделие из воска, гипса или дерева, с которого снимают форму для воспроизведения в другом материале (металле, камне); устройство, воспроизводящее строение и действие какого-либо объекта, явления или процесса в научных или практических целях, и т.д. Второе значение представляет для нас наибольший интерес.

На начальной стадии развития моделирования модель, как правило, воспроизводила лишь пространственные свойства или пространственные отношения предметов. По мере развития науки модели стали имитировать все более тонкие особенности объекта, процесса или явления, вплоть до воспроизведения функции живого органа (например, аппараты "искусственная почка", "искусственные легкие" могут рассматриваться как модели соответствующих органов человека).

Воспроизведение моделью функций или свойств оригинала может преследовать различные цели моделирования:

практические, прикладные (например, создание устройств, воспроизводящих функцию глаза, для ввода информации в ЭВМ "с листа" или для распознавания образов у роботов, предназначенных для операции сборки);

учебные (демонстрационные модели, к которым относятся макеты, схемы, чертежи и другие наглядные пособия, тренажёры);

научные, когда модель используется для изучения воспроизводимого оригинала.

Моделирование может использоваться для разработки теории объекта, особенно если непосредственное исследование объекта невозможно. Анализ моделей зачастую позволяет обеспечить развитие теории. Так, например, современный уровень знаний не позволяет создать строгую теорию парообразования и на основании ее получить аналитические выражения для определения коэффициента теплоотдачи при кипении. Моделирование дает возможность в отдельных случаях заменить вычисления измерением или упростить задачу.

Моделирование используется также для экспериментального исследования в тех случаях, когда объект недоступен для непосредственного изучения (слишком мал или велик, расположен очень далеко, когда продолжительность исследуемого процесса превышает продолжительность жизни исследователя), или если применение моделей оправдано экономически.

Модель должна быть сходна с оригиналом и, в то же время, отлична от него. Степень соответствия (СС) может меняться в пределах: 0 < СС < 1. Значение СС = 0 указывает на отсутствие, какой - бы то ни было, связи между моделью и оригиналом. Значение СС = 1 свидетельствует о полной тождественности модели и оригинала. В обоих случаях мы не можем говорить о моделировании. Количественное определение степени соответствия весьма сложно и не всегда возможно, но это понятие дает возможность производить сопоставление моделей.

Рассмотрим одну из возможных классификаций моделей.

По своей природе все модели могут быть разделены на идеальные (теоретические) и материальные (экспериментально-практические). Идеальные модели, в свою очередь, подразделяются на модели-представления (например, модель строения земли, атома, модель кинетической теории газов Максвелла) и знаковые модели, изучаемые семиотикой. Пример знаковых моделей – это известные школьные задачи о бассейнах или пешеходах. Учащийся, используя знаковую систему, решает задачу не о бассейнах или о пешеходах, а о неизвестных в системе уравнений.

Материальные модели строятся на основе подобия объектов. Подобными называются объекты, параметры которых отличаются в сходственных точках пространства, в сходственные моменты времени в определенное число раз (масштабом). Подобие может быть полным или неполным в зависимости от того, подобны ли все или отдельные, наиболее важные параметры.

Материальные модели подразделяются на геометрические, физические и математические.

Геометрические модели используют геометрическое подобие и применяются главным образом в демонстрационных целях (например, глобус – простейшая геометрическая модель земного шара, макеты).

Физические модели могут характеризоваться геометрическим и физическим подобием, когда все протекающие в модели и оригинале процессы имеют одинаковую физическую природу. Тогда моделирование означает исследование объектов в другом масштабе притом же составе измерений и той же их сложности. При этом изменение масштаба может привести к появлению новых свойств или искажению существующих (например, может выявиться роль пристеночного эффекта, облитерации). Основой такого моделирования является качественное отождествление модели и объекта.

Физические модели могут основываться также на геометрическом и математическом подобии, когда процессы, имея различную физическую природу, описываются одинаковыми уравнениями (в этом случае говорят об аналогиях).

Так, явление теплопроводности подчиняется закону Фурье, который имеет вид

где t – температура; l – коэффициент теплопроводности; dQ – количество теплоты, проходящей через площадь dF за время dt, а процесс диффузии подчиняется закону Фика

где с – концентрация; k – коэффициент диффузии; dM – масса вещества, диффундировавшего через площадь dF за время dt.

Очевидно, что оба выражения имеют одинаковую структуру, но отличаются тем, что Q и M, l и k, t и c имеют различный физический смысл, различную размерность, хотя роль этих величин в уравнениях одинакова. Поэтому можно считать с аналогом t, а k аналогом l.

Допустим, что два различных явления, описываемых дифференциальными уравнениями одинаковой структуры, протекают в геометрически подобных системах и что условия однозначности или граничные условия описываются также одинаковыми выражениями. В этом случае дифференциальные уравнения и условия однозначности будут отличаться только размерностью соответствующих физических величин. Если теперь привести дифференциальные уравнения и условия однозначности к безразмерному виду, выбрав в качестве масштаба длин сходственные линейные размеры, а в качестве масштабов физических величин соответствующие аналоги, то различие в размерностях исчезнет и останется только разница в обозначениях. Если при этом безразмерные физические величины – аналоги, начальные и граничные условия будут в обеих системах равны, то решения обоих дифференциальных уравнений (или их систем) будут тождественны, что позволяет считать явления аналогичными и рассматривать одно из них как модель второго.

Подобная аналогия существует между теплопроводностью и электропроводностью при стационарном режиме для плоского (двумерного) твердого тела. Уравнение теплопроводности в этом случае записывается в виде

где t – температура; x, у – координаты; индекс "т" свидетельствует об отношении величины к полю температур. Уравнение электропроводности записывается в виде

где u – электростатический потенциал; x, у – координаты; индекс "э" свидетельствует об отношении величины к электрическому полю.

Дифференциальные уравнения теплопроводности и электропроводности имеют совершенно одинаковую структуру. Если описать условия однозначности уравнениями, имеющими одинаковую структуру, и рассматривать геометрически подобные системы, то можно показать, что в сходственных точках, т.е. при и , будет иметь место соотношение , говорящее о подобии поля температур и поля потенциалов. Подобие поля температур и поля потенциалов позволяет упростить экспериментальное исследование процесса теплопроводности за счет более простого и более точного измерения электростатического потенциала по сравнению с измерением температурного поля.

Метод электротепловой аналогии находит себе практическое применение при расчете температурных полей в сложных теплоизоляционных конструкциях, при решении вопросов о защите грунта под охлаждаемыми помещениями от промерзания и т.п.

Математическое моделирование рассматривает реальный процесс как сочетание элементарныхпроцессов, описываемых определенными математическими зависимостями. Математические модели – это, как правило, модели неполной аналогии, однако они отличаются общностью и могут отражать поведение целого класса явлений.

По характеру воспроизводимых сторон оригинала модели подразделяются на субстанциональные, структурные, функциональные, смешанные.

Субстанциональная модель идентична оригиналу по физической природе (например, одно органическое вещество может быть моделью другого (закон соответственных состояний: в соответственных состояниях T / T _кр, p / p _кр различные вещества ведут себя сходственным образом)). Субстанциональные модели могут создаваться при масштабной деформации путем изменения пространственных и временных координат и включении лишь некоторых элементов оригинала в модель.

Структурные модели имитируют внутреннюю организацию оригинала (например, ньютоновская модель солнечной системы в виде совокупности материальных точек, модель белка, ДНК).

Функциональные модели имитируют способ поведения (функцию) оригинала (например, аналогия между тепло- и электропроводностью).

Моделирование может осуществляться как в масштабе времени оригинала, так и в другом масштабе. По этому признаку различают синхронные и гомохронные модели.

Большой интерес, проявляемый в последнее время к моделированию, потребовал определенного углубления теоретических представлений о сущности изучаемых явлений и процессов, получения более строгих математических описаний, базирующихся на физических закономерностях [29]. Широкое поле деятельности открывается в этом плане в области холодильной техники, поскольку многие разделы этой отрасли знаний не имеют корректных теоретических обоснований и описываются эмпирическими выражениями, отражающими в какой-то степени субъективные взгляды исследователей. Поэтому применение методов моделирования предполагает математизацию изучаемых курсов (переход от гидравлики к механике жидкости и газа).

1.2. Математические модели

Математическое моделирование является основой (одним из первых шагов на пути к созданию) САПР – системы автоматизированного проектирования, АСУТП – автоматизированной системы управления технологическими процессами и АСУ – автоматизированной системы управления.

Метод математического моделирования, как уже отмечалось, основывается на том, что реальные процессы, протекающие в объекте моделирования и характеризующие его свойства, представляются как сочетание некоторых элементарных процессов, подчиненных закономерностям, описываемым определенными математическими соотношениями.

Рассмотрение элементарных процессов, их изучение, описание на языке математики, т.е. в форме тех или иных уравнений, дает возможность при объединении этих уравнений в систему получить математическое описание всего исследуемого объекта, т.е. создать его математическую модель.

Естественно, что математические модели являются моделями неполной аналогии, отражающими только наиболее важные свойства объекта моделирования. В то же время они отличаются достаточной общностью, описывая целый класс изучаемых явлений. Создание математических моделей не требует значительных материальных затрат, а моделирование с помощью современных вычислительных средств осуществляется в сравнительно короткое время.

Математическое моделирование становится особенно целесообразным, когда речь заходит о разработке дорогостоящих объектов, например, крупных холодильных станций, и определении режима их эксплуатации.

Методы математического моделирования позволяют объективно рассмотреть и сопоставить множество различных вариантов и выбрать наиболее целесообразный, в то время как в реальных условиях проектировщик способен проработать 2–3 варианта решения, которые неизбежно будут носить некоторую печать субъективизма.

Ниже рассматриваются некоторые общие положения, связанные с математическим моделированием.

Любой объект моделирования (всю установку в целом, отдельный аппарат, технологический процесс и т.д.) можно рассматривать как некоторый комплекс, подверженный воздействию различных факторов, которые определяют течение процессов и характеризуют состояние объекта в любой момент времени.

Обычно все многообразие действующих факторов разделяю т на следующие группы (рис.1.1).

1) Входные факторы и параметры x_i, i = 1, 2,..., m. Входными называются факторы и параметры, значения которых могут быть измерены, но возможность воздействия на которые отсутствует. Их значения не зависят от режима процессов, протекающих в объекте моделирования.

Если рассматривать в качестве объекта моделирования холодильную установку, то входными параметрами для нее будут температуры источников тепла – окружающей среды и охлаждаемого объекта, а выходным фактором – холодопроизводительность, требующаяся для осуществления технологического процесса.

2) Управляющие факторы u_i = 1, 2,..., r. К ним относятся те факторы, на которые можно оказывать прямое воздействие в соответствии с теми или иными требованиями, что позволяет управлять процессом.

Применительно к рассматриваемому примеру к управляющим факторам можно отнести расход охлаждающей воды, расход циркулирующего в системе холодильной установки рабочего тела, расход хладоносителя и т.п.

3) Возмущающие факторы z_i = 1, 2,..., l. Это факторы, значения которых могут случайным образом изменяться с течением времени и которые недоступны для измерения.

Возмущающими факторами в рассматриваемой модели холодильной установки могут быть засорение регулирующего органа, резкое увеличение нагрузки, вызванное, например, сверхнормативным поступлением теплого груза в охлаждаемое помещение, прекращение подачи охлаждающей воды, сбой энергоснабжения и подобные случайные явления.

4) Выходные факторы и параметры y_i, i = 1, 2,..., n. Выходными называются факторы и параметры, которые определяются режимом моделируемого объекта и характеризуют его состояние, возникающее в результате суммарного воздействия входных, управляющих и возмущающих факторов и параметров.

К выходным параметрам в нашем примере могут быть отнесены температура кипения рабочего тела, температура конденсации, температура всасываемого в компрессор пара, холодопроизводителъность холодильной установки и т.д.

По отношению к объекту моделирования входные и управляющие факторы и параметры являются внешними, не зависящими от его режима работы. Выходные факторы и параметры относятся к внутренним, так как на них влияет режим работы объекта. Возмущающие факторы могут быть как внешними, так и внутренними. Действие возмущающих факторов проявляется в том, что выходные факторы и параметры объекта при известной совокупности входных и управляющих факторов и параметров определяются неоднозначно. Объекты моделирования, для которых велико влияние случайных возмущающих факторов, называются стохастическими, в отличие от детерминированных, для которых значения выходных параметров и факторов однозначно определяются входными и управляющими факторами и параметрами.

Стохастические процессы изучают, используя математический аппарат теории вероятностей. В этом случае значения выходных факторов оцениваются в терминах математического ожидания, а возмущающие факторы характеризуются вероятностными законами распределения.

Дальнейшее изложение будет относиться к детерминированным объектам, что предполагает отсутствие случайных возмущающих факторов.

Для описания совокупности входных, управляющих и выходных факторов часто используется векторная форма записи

с учетом которой зависимость выходных факторов и параметров, характеризующих процесс или объект, от входных и управляющих можно представить в виде

(1.1)

Величина здесь рассматривается как вектор-функция, поэтому

Если известен вид соотношения (1.1), то можно утверждать, что известна математическая модель процесса.

Необходимо ввести некоторые понятия, позволяющие осуществить классификацию объектов моделирования. Все многочисленные объекты моделирования могут быть разделены на две группы за счет отнесения их к объектам с сосредоточенными и c распределенными параметрами.

К объектам с сосредоточенными параметрами относятся объекты, параметры которых, описывающие их состояние, изменяются только во времени.

К объектам с распределенными параметрами относятся объекты, параметры которых изменяются как во времени, так и в пространстве, т.е. являются функцией пространственных координат объекта.

Если рассматривать в качестве объекта моделирования теплообменные аппараты холодильной установки, то для горизонтальных кожухотрубных конденсаторов, например, трубное пространство, в котором циркулирует охлаждающая вода, является зоной с распределенными параметрами, а межтрубное пространство, заполненное паром рабочего тела (если не учитывать перегрев поступающего пара) – зоной с сосредоточенными параметрами. Аналогичная картина имеет место и для горизонтального кожухотрубного испарителя. Панельный испаритель может служить примером аппарата с сосредоточенными параметрами и со стороны хладоносителя, и со стороны рабочего тела.

Следует учесть, что один и тот же объект в зависимости от цели моделирования может считаться объектом с сосредоточенными либо распределенными параметрами. Так, например, при расчете теплопритоков через ограждения охлаждаемое помещение является объектом с сосредоточенными параметрами. При определении скорости свободного движения воздуха то же охлаждаемое помещение является объектом с распределенными параметрами.

Математическое описание каждого процесса задается системой алгебраических или дифференциальных уравнений, отражающих взаимное влияние различных факторов и параметров. При этом присутствие в математическом описании уравнений одного типа (например, алгебраических) не исключает возможности присутствия уравнений другого типа (дифференциальных). Обычно выходные факторы у _i входят в эти уравнения в неявной форме. Поэтому для их нахождения систему уравнений математического описания необходимо разрешить относительно выходных факторов. Для получения указанных зависимостей нужна определенная методика решения системы уравнений математического описания, применяя которую для любой совокупности значений входных и управляющих факторов можно рассчитывать значения выходных параметров.

На основании изложенных общих соображений можно дать определение "математической модели":

Математическая модель представляет собой замкнутую систему уравнений математического описания, записанных в явной или неявной форме, которая должна отражать сущность явлений, протекающих в объекте моделирования, и с помощью определенной методики расчета позволять прогнозировать поведение объекта.

Естественно, что успешное использование математических моделей возможно только при их адекватности моделируемому объекту. Проверка адекватности осуществляется сопоставлением результатов математического моделирования с натурным экспериментом. Такое сопоставление дает возможность исключить систематические ошибки, обусловленные неточным заданием численных параметров в уравнениях математического описания.

Использование математического моделирования позволяет ограничить масштабы физического эксперимента и сделать его направленным. Физический эксперимент необходим для проверки адекватности математической модели в отдельных реперных точках, а также для определения численных значений некоторых коэффициентов, входящих в математическую модель, которые при современном уровне знаний не могут быть получены аналитическим путем.

Так как осуществление математического моделирования связано с выполнением большого количества расчетов, этот метод получил широкое распространение только после появления современных быстродействующих вычислительных машин.

Рассмотрим основные этапы построения математической модели. Они вытекают из приведенного выше определения этого понятия.

Первый этап математического моделирования – составление формализованного описания – это схематизация реального явления, процесса или объекта, т.е. отражение в математической модели его сущности. Полнота этой схематизации определяет уровень и корректность разрабатываемой математической модели. Для составления формализованного описания реальный процесс, протекающий в объекте и характеризующий его свойства, представляется в виде совокупности элементарных процессов, подчиненных определенным закономерностям. При этом задачей составителя формализован­ного описания является выделение тех элементарных процессов, которые подлежат отражению в модели (так как математические модели, как уже отмечалось выше, являются моделями неполной аналогии, отражающими только наиболее важные свойства объекта), формулирование допущений, принимаемых при их описании, и установление взаимной связи между рассматриваемыми элементарными процессами. Набор выбранных элементарных процессов определяет всю совокупность параметров и переменных, описывающих состояние объекта и включаемых в математическую модель. В качестве элементарных обычно выступают такие процессы, как движение потоков, химические превращения вещества, массообмен и теплооб­мен между потоками вещества, а в ряде случаев теплообмен потока с окружающей средой, изменение агрегатного состояния вещества и т.д.

Точность описания реального процесса в объекте с помощью элементарных процессов в модели зависит от того, насколько правильно отражена в модели их взаимосвязь. При моделировании сложных явлений иногда приходится делать допущения о характере взаимосвязи элементарных процессов, что позволяет в ряде случаев упростить формализованное описание (принимается идеализированная модель движения фаз, делается допущение, что массообмен не сопровождается одновременным изменением агрегатного со­стояния контактирующих фаз и т.д.).

В качестве примера рассмотрим составление формализованного описания действительного рабочего процесса (рис. 1.2), происходящего в поршневом компрессоре холодильной установки. Считается, что пар рабочего тела, поступивший к всасывающему клапану в состоянии 1, вначале дросселируется в клапане, проходя в цилиндр компрессора (процесс 1–а). После этого свежая порция пара смешивается с паром состояния l, расширившимся из вредного пространства (процесс а–b). Полученная смесь подогревается за счет теплообмена с более теплыми стенками цилиндра, торцевой поверхностью поршня и крышкой цилиндра (процесс b–с) и только после этого начинается процесс сжатия. В начале сжатия темпе­ратура пара ниже температуры поверхности рабочей полости цилиндра, поэтому сжатие происходит с подводом теплоты к рабочему телу по политропе с п > k (участок с–d). В процессе сжатия температура пара повышается и сравнивается с температурой стенок цилиндра. В результате на некотором участке d–е сжатие протекает адиабатно (п ≈ k). При повышений температуры пара выше температуры стенок цилиндра дальнейшее сжатие (е – f) сопровождается отводом теплоты от пара к стенкам (n < k) и т.д.

Приведенный пример показывает, что составление формализованного описания представляет определенную схематизацию реального процесса. В действительности перечисленные выше стадии процесса всасывания протекают одновременно, состояние пара в различных точках рабочей полости цилиндра неодинаково и т.д. Однако такая схематизация позволяет с достаточной степенью достоверности представить реальный процесс и в дальнейшем со­ставить его математическое описание.

Для характеристики объекта моделирования все многообразие действующих факторов, как было показано выше, удобно разделять на входные, управляющие и выходные. При составлении формализованного описания целесообразно придерживаться классификации, отражающей физический смысл каждого фактора.

С этой точки зрения все факторы можно разделить на следующие группы:

1) конструктивные, которые объединяют структурные факторы, являющиеся описательными характеристиками объекта, не имеющими численного выражения (параллельное или последовательное соединение элементов (секций), представление аппарата как зоны идеального перемешивания или идеального вытеснения, прямоток или противоток сред в аппаратах и т.д.); эти факторы существенно влияют на вид математического описания и результаты моделирования;

2) геометрические, под которыми понимаются численные характеристики аппаратурного оформления моделируемого объекта (площадь теплопередающей поверхности аппарата, объем, описываемый поршнями компрессора, число секций аппарата, емкость сосуда, число тарелок в ректификаторе и т.д.);

3) физические, включающие величины потоков вещества, параметры потоков, определяющие протекание ("движущую силу") элементарных процессов (концентрация, температура, давление и т.д.), а также физические характеристики среды (теплоемкость, вязкость и т.п.);

4) факторы элементарных процессов, к которым относятся:

- гидродинамические, характеризующие движение потоков вещества. Они в отличие от структурных имеют численное выражение, характеризуются применяемым описанием движения потока и зависят от физических параметров (Re, коэффициент продольного смешения вещества в потоке, число ячеек смешения в ячеечной модели);

- физико-химические, характеризующие тепло- и массообмен и химические реакции (например, коэффициенты тепло- и массопереноса, константы скорости химических реакций, тепловые эффекты реакции и т.д.).

Эффективность моделирования зависит от полноты отражения факторов и параметров объекта в математической модели, однако очень большую роль играет точность установления взаимосвязи факторов и параметров, входящих в описание элементарных процессов. Задача отображения этой взаимосвязи решается на втором этапе моделирования – при разработке математического описания, т.е. составлении замкнутой системы уравнений.

Математическое описание – перевод формализованного описания на язык математики – является выражением формализованного описания на языке математики в виде некоторой системы уравнений и функциональных соотношений между различными факторами и параметрами модели..

Наиболее общим приемом разработки математического описания является блочный принцип. При этом обычно вначале исследуется гидродинамическая модель процесса как основа структуры математического описания. Далее, с учетом гидродинамических условий, изучают кинетику тепло- и массопередачи, химических реакций и других элементарных процессов и составляют математи­ческое описание каждого из них. Заключительным этапом является объединение описания всех исследованных элементарных процессов (блоков) в единую систему уравнений математического описания объекта.

Таким образом, математическое описание представляет собой совокупность зависимостей, связывающих все классы факторов и параметров в единую систему уравнений. Среди этих зависимостей обычно встречаются выражения, отражающие общие физические закономерности (например, законы сохранения массы и энергии), уравнения, которые описывают отдельные элементарные процессы (например, уравнения тепло- и массопереноса, взаимодействия фаз, химических воздействий и т.д.), а также эмпирические и полуэмпирические зависимости для различных параметров процесса, если теоретическая форма этих зависимостей неизвестна или слишком сложна (значения коэффициента теплоотдачи при кипении вещества, коэффициент сопротивления движению двухфазного потока и т.д.).

В ряде случаев при ограниченности теоретических сведений о характере процессов моделируемого объекта или их отсутствии, а также с целью упрощения математической модели уравнения математического описания могут быть представлены системой эмпирических зависимостей, полученных на основании статистического обследования объекта. Эти, так называемые, статистические модели имеют вид корреляционных или регрессионных соотношений между входными и выходными факторами и параметрами объекта.

Примером такой статистической модели может служить представление холодопроизводительности холодильной установки в виде функции температуры охлаждающей воды, входящей в конденсатор, и температуры выходящего из испарителя промежуточного хладоносителя

(1.2)

где Q ₀ – холодопроизводительность установки; А_i, В_i, С_i – числовые коэффициенты; (t _s2 – температура выходящего из испарителя промежуточного хладоносителя; t_{w 1} – температура поступающей в конденсатор охлаждающей воды.

Естественно, что вывод соотношения типа (1.2) возможен лишь при наличии действующего объекта, на котором проводился эксперимент. Недостатком таких моделей является обычно ограниченность области изменения параметров, обусловленная возможностями экспериментального исследования, и неправомерность экстраполяции полученных результатов за пределы границ проведенного эксперимента или на оборудование другого типа. Статистические модели не отражают физических свойств моделируемого объ­екта, что затрудняет обобщение результатов, полученных с их помощью.

Математические модели, построенные с учетом основных физических закономерностей процессов, протекающих в объекте, характеризуют моделируемый объект всегда качественно более правильно, чем статистические, даже при отсутствии достаточно точных количественных данных о параметрах модели. Поэтому с их помощью можно изучать общие свойства объектов, относящихся к определенному классу.

В составе математического описания модели, разработанного на основе физической природы моделируемого объекта, наряду с уравнениями баланса массы и энергии, уравнениями элементарных процессов для локальных элементов потока, теоретическими, полуэмпирическими и эмпирическими соотношениями между различными факторами и параметрами процесса выделяют обычно уравнения ограничений, накладываемых на факторы и параметры процесса. При математическом моделировании необходимо учитывать объективно существующие ограничения на диапазон изменения ряда параметров (например, сумма концентраций компонентов раствора равна единице, температура охлаждаемого тела всегда выше температуры хладоносителя, температура промежуточного хладоносителя не может быть ниже температуры его замерзания и т.д.).

В математических моделях число уравнений и соотношений, включаемых в математическое описание, должно быть равно числу внутренних (зависящих от режима объекта) факторов и параметров, определяемых в результате моделирования, что обеспечивает замкнутость системы уравнений и однозначность получаемого решения.

3 этап. Как уже отмечалось, при составлении математической модели более или менее сложного объектаполучить уравнения математического описания, устанавливающие связь между входными, управляющими и выходными факторами и параметрами объекта, в явной форме не удается. Поэтому возникает необходимость выбора метода решений уравнений математического описания для определения выходных факторов и параметров объекта. Выбор метода решений системы уравнений математического описания зависит от конкретного вида уравнений, который, в свою очередь, определяется типом математической модели.

Все модели обычно делят на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит ли время в качестве независимой переменной в уравнения математического описания. Для стационарных моделей математическое описание определяет значения внутренних факторов и параметров модели, соответствующих стационарному состоянию объекта при заданной совокупности внешних факторов и параметров. Для нестационарных моделей математическое описание характеризует временное изменение внутренних факторов и параметров при изменении внешних. Тип модели влияет на в