Контрольная работа
Выполнил: Калинин Максим
Проверил: Агульник Ольга Николаевна
Новосибирск, 2015 г
1. Найти пределы
а) б) в) .
Решение.
Воспользуемся формулами:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23).
- воспользуемся тождественными преобразованиями: разделим числитель и знаменатель выражения на .
.
Поскольку ~ , то ~ , тогда
.
в)
Ответ: а) , б) 0, в) .
. Найти производные данных функций
б)
г) .
Решение.
Свойства производной:
(24)
(25)
(26)
(27)
.
.
.
- функция задана неявно.
Продифференцируем обе части равенства:
;
;
;
Выразим производную :
;
;
.
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию . Используя результаты исследования, построить её график
Решение. Схема исследования функции
. Найдем область определения функции: . Точек разрыва нет. 2. Проверим, не является ли функция четной или нечетной; проверим также, не является ли она периодической.
функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат, непериодическая
. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Пересечение с : точка
Пересечение : .
. Найдем производную функции и ее критические точки.
, - критические точки.
5. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции.
Определим знак производной на каждом из интервалов методом частных значений:
, ,
.
, .
Табл.1.
-2(-2;2)2 | |||||
----+ | |||||
-11 |
Значит при (-2;2), при и
точка минимума ; - точка максимума .
. Найдем вторую производную, ее нули и интервалы знакопостоянства.
.
, , .
, , .
, , ,
Табл.2.
0 | |||||||
- 0+0-0+ | |||||||
0 |
В интервалах, где < 0, то есть при и график функции выпуклый, а где >0 - и - вогнутый.
. Найдем асимптоты.
Уравнения наклонных асимптот , где , тогда наклонных асимптот не существует.
Горизонтальная асимптота (ось )
График данной функции имеет вид:
Рис.3.
4. Дана функция . Найти все её частные производные второго порядка
Решение.
Для вычисления частных производных будем пользоваться правилом: все переменные, кроме той, по которой дифференцируем, считаем постоянными. Тогда учитывая (24) - (27). Найдем вначале производные первого порядка.
- считаем постоянной, а - переменной.
- считаем постоянной, а - переменной.
Найдем производные второго порядка:
- дифференцируем по , считая постоянной.
- дифференцируем по , считая постоянной.
- дифференцируем по , считая постоянной.
Ответ: ,
, .
. Найти неопределенные интегралы
а) б)
в) г) .
Решение.
Воспользуемся свойствами интеграла:
(28)
. (29)
(30) - внесением под знак дифференциала необходимой переменной.
(31)
Воспользуемся формулой понижения степени , тогда
.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся формулами
, если (32)
(33).
экстремум дробь монотонность подынтегральный
Воспользуемся для разложения методом неопределенных коэффициентов:
получим систему: . Тогда
.
- выполним замену переменной , тогда .
.
Выполним обратную замену, тогда .
Ответ: а) , б) , в) , г) .
Список использованной литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 8-е изд. - М.: Наука, 1966 - 872 с.
2. Демидович Б.П.. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1972 - 544 с.
3. Задачи и упражнений по математическому анализу для втузов.: Учебное пособие для студентов высших техн. учебн. заведений/под. ред. Б.П. Демидовича. - М.; ООО «Издательство Астрель», 2004 - 495с.
4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд. - М.: Высшая школа, 1966 - 460 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М.:Наука, 1985. - 560с.
6. Справочник по математике для экономистов/В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высшая школа, 1987. - 336 с.