, (1)
где , или - ряд с комплексными числами
Если существует , то ряд (1) называется сходящимся, и , иначе ряд (1) – расходящийся.
Теорема 1. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды и с действительными членами.
Теорема 2. Если сходится ряд , составленный из модулей членов ряда (1), то сходится и ряд (1), который называется при этом абсолютно сходящимся.
Функциональным рядом называется ряд
, (2)
где - функции комплексного переменного.
Если в каждой точке области ряд (2) сходится, то ряд (2) сходится в области , а сумма ряда определяется в этом случае как некоторая функция от ( - область сходимости ряда): , где .
Если ряд (2) сходится в области , то в каждой точке этой области последовательности остатков ряда стремится к нулю: .
Степенным рядом называется ряд вида
, (3)
где - комплексные числа (коэффициенты ряда), - комплексная переменная, или ряд
(4)
ТеоремаАбеля. Если степенной ряд (3) сходится в некоторой точке , то он абсолютно сходится в круге . Во всяком замкнутом круге меньшего радиуса ряд (3) сходится равномерно. Если ряд расходится при , то он расходится и при любом значении , для которого .
Из теоремы Абеля следует, что для всякого степенного ряда (3) существует круг с центром в начале координат, во всех точках которого ряд (3) сходится.
Радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда и определяется по формуле или .
Теорема. Функция , аналитическая в круге , может быть в этом круге единственным образом разложена в степенной ряд Тейлора ,
где коэффициенты вычисляются по формулам .
Итак, ряд Тейлора для функции имеет вид: .
Замечание: Имеют место, как и в действительном анализе, аналогичные разложения в ряд основных элементарных функций, например, при
,
,
,
и др.
Рядами Тейлора представляются функции, аналитические в круговых областях. Часто приходится рассматривать функции, аналитичные всюду в некоторой окрестности точки , исключая саму точку , т.е. аналитичные в кольце . Такие функции представляются двусторонними рядами, содержащими как целые положительные, так и целые отрицательные степени . Эти ряды, названные по имени французского математика П.. Лорана (1813-1854), являются обобщением степенных рядов и имеют вид
, (5)
где (6)
- любой контур, принадлежащий рассматриваемому кольцу.
Теорема. всякая функция , аналитическая в круговом кольце , может в этом кольце единственным образом раскладываться в ряд Лорана (5), который в этом кольце абсолютно сходится.
Ряд называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана.
Ряд называют главной (сингулярной) частью ряда Лорана.
Замечание 1. Интеграл нельзя заменить на , так как , вообще говоря, не аналитична в точке .
Замечание 2. Если функция является аналитической не только в кольце, но и в точке , т.е. аналитична в круге , то при всех подынтегральная функция в интеграле не имеет особых точек внутри , в силу чего по теореме Коши все и главная часть ряда Лорана исчезает. В этом случае и ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, который, таким образом, является частным случаем ряда Лорана.
Замечание 3. Формула (6) приводит к громоздким выкладкам, поэтому на практике для нахождения коэффициентов используют, по возможности, уже известные разложения в ряд.